UMA 2022
En colaboración con J. Fernández Bonder, hemos estudiado los espacios de Sóbolev anisotrópicos fraccionarios .
Para nuestro análisis, extendimos los resultado de Bourgain, Brezis & Mironescu [1] en el caso anisotrópico [3] probando el límite del funcional de energía $$ J_{\mathbf{s},\mathbf{p}}(u)=\sum_{i=1}\frac{s_i(1-s_i)}{p_i}{\int_{\mathbb{R}^n}}\int_\mathbb{R}\frac{|u(x-he_i)-u(x)|^{p_i}}{|h|^{1+s_ip_i}}\,dh\,dx, $$ cuando $\textbf{s}\to 1$.
Una aplicación inmediata de estos resultados es el estudio del operador pseudo $\textbf{p}$-Laplaciano anisotrópico, $ (-\widetilde{\Delta}_{\textbf{p}})^{\textbf{s}}.$
Basándonos en [2] analizamos la estabilidad y comportamiento asintótico de soluciones del problema: \begin{equation*} \begin{cases} (-\widetilde{\Delta}_{p})^{s} u = f & \text{in }\Omega\\ u=0 & \text{in } \mathbb{R}^n\setminus \Omega \end{cases} \end{equation*} cuando $\textbf{s}\to1$ y nuestra fuente, $f$, cumple distintas hipótesis.
Trabajo en conjunto con: J. Fernández Bonder (Instituto de cálculo,UBA).
Referencias
[1] Jean Bourgain, Haim Brezis, and Petru Mironescu. Another look at Sobolev spaces. In Optimal control and partial differential equations, pages 439–455. IOS, Amsterdam, 2001
[2] Julian Fernandez Bonder and Ariel Salort. Stability of solutions for nonlocal problems. Non- linear Anal., 200:112080, 13, 2020
[3] J. Chaker, M. Kim, and M. Weidner. The concentration-compactness principle for the nonlocal anisotropic p-laplacian of mixed order.