UMA 2022
Sea $\ell$ un anillo conmutativo con involución $\ast$. Dado un grafo finito y dirigido $E$, su $\ell$-álgebra de Leavitt $L(E)$ es una $\ast$-álgebra asociativa que viene equipada con una $\mathbb{Z}$-graduación compatible. Su grupo de Grothendieck graduado $K_0^{gr}(L(E))$ es la completación a grupo del monoide de módulos proyectivos, graduados y finitamente generados; el desplazamiento de componentes homogéneas hace de este grupo un módulo sobre $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$. Un morfismo entre grupos de Grothendieck graduados se dice ordenado si envía clases de módulos proyectivos en clases de módulos proyectivos.
En [2] Roozbeh Hazrat conjetura que, cuando $\ell$ es un cuerpo, todo morfismo $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$-lineal y ordenado $K_0^{gr}(L(E)) \to K_0^{gr}(L(F))$ que envía $[L(E)]$ en $[L(F)]$ proviene de un morfismo graduado $L(E) \to L(F)$. En esta charla veremos el resultado principal de [1], que da una respuesta afirmativa a esta conjetura.
Referencias
[1] G. Arnone, Lifting morphisms between graded Grothendieck groups of Leavitt path algebras. arXiv:2206.06759 [math.RA].
[2] R. Hazrat, The graded Grothendieck group and the classification of Leavitt path algebras. Math. Ann. 355 (2013), no. 1, 273--325.