UMA 2022
Sean $\Omega$ un conjunto medible y acotado de $\mathbb{R}^n$, $1 \le p \lt \infty$ y $f\in L^{p-1} (\Omega)$. Es bien conocido que existe al menos un polinomio $E_p(f) \in \Pi^m$, llamado un mejor $L^p$-aproximante extendido a $f$ desde $\Pi^m$, tal que \[ \left|\int_{\Omega} |f-E_p(f)|^{p-1}\text{sgn}(f-E_p(f)) Q \right| \le \delta_{p,1} \int_{\{f=E_p(f)\}} |Q| \quad \text{para todo} \quad Q\in \Pi^m, \] donde $\delta_{p,1}$ es la función delta de Kronecker. En particular, si $f \in L^{p} (\Omega)$, $E_p(f)$ coincide con el mejor $L^p$-aproximante a $f$ desde $\Pi^m$. En un breve artículo publicado en Proc. Amer. Math. Soc, Brown y Lucier [1] demostraron que cualquier $L^1$-aproximante extendido a $f$ desde $\Pi^m$ es casi-mejor $L^q$-aproximante a $f$ desde $\Pi^m$ para $0 \lt q \lt 1$, es decir, existe $\rho \gt 0$ tal que \[ \|f-E_1(f)\|_{L^q(\Omega)} \le (1+\rho) \inf_{Q \in \Pi^m} \|f-Q\|_{L^q(\Omega)}. \] Es natural preguntarse si este resultado tiene una contraparte en los espacios $L^{p}(\Omega)$ para $p \gt 1$. En este trabajo mostramos que esta pregunta tiene una respuesta afirmativa. Por otro lado, la demostración de Brown y Lucier implica argumentos complejos y poco intuitivos. También proveemos un resultado alternativo para el caso $p = 1$, con una prueba más simple y directa.
Trabajo en conjunto con: Favian Levis (UNRC, CONICET, FCEFQyN).
Referencias
[1] L.G. Brown, B.J. Lucier, Best Approximations in $L^1$ are Near Best in $L^p$, $p<1$. Proc. Amer. Math. Soc. 20(1) (1994) 97-100.