UMA 2022
Ciertos espacios simétricos $M$ tienen la siguiente propiedad: para cada traslación infinitesimal $x$ a lo largo de una geodésica $\gamma$ en $M$, hay una rotación infinitesimal distinguida $L_{x}$ alrededor de $\gamma$ (aquí $x$ y $L_{x}$ son ciertos elementos del álgebra de Lie del grupo de isometrías de $M$). Para el caso prototipo $M=\mathbb{R}^{3}$, a la traslación infinitesimal en la dirección de $x\neq 0$ se le asocia la rotación infinitesimal $z\mapsto x\times z$.
Otros ejemplos se obtienen a partir de un grupo de Lie compacto $K$: Se puede tomar $M=K$ con métrica riemanniana bi-invariante, o $M=K^{\mathbb{C}}/K$, o $M$ el espacio euclídeo $\mathfrak{k}=$ Lie $\left( K\right) $. El grupo $G$ que actúa en $M$ en cada caso es $K\times K$, $K^{\mathbb{C}}$ y $\mathfrak{k}\rtimes _{\text{Ad}}K$. También, $M=\mathbb{R}^{7}$ con grupo actuando $G=\mathbb{R}^{7}\rtimes SO_{7}$ (de manera similar a $\mathbb{R}^{3}$, pero con el producto cruz octoniónico).
Estudiamos la controlabilidad de las distribuciones invariantes a izquierda en los grupos $G$ de arriba, asociadas a las rototraslaciones infinitesimales distinguidas. De manera informal: Una curva en $G$ (pensada como un movimiento de $M$) es admisible si en cada instante, a nivel infinitesimal, trasladar en alguna dirección conlleva realizar al mismo tiempo la rotación distinguida alrededor de esa dirección.
Trabajo en conjunto con: Eduardo Hulett (FaMAF-Universidad Nacional de Córdoba - CIEM-CONICET, Argentina) y Marcos Salvai (FaMAF-Universidad Nacional de Córdoba - CIEM-CONICET, Argentina).