UMA 2022
Consideremos el operador de Schrödinger bi-armónico en $\mathbb{R}^d$, con $d\ge 5$, \[\mathcal{L}=(-\Delta)^2+V^2,\] donde el potencial $V$ es no negativo y no identicamente cero.
Las potencias negativas de este operador pueden ser expresadas en términos del semigrupo del calor generado por $\mathcal{L}$ de la siguiente forma \[\mathcal{L}^{-\alpha/4}f(x) = \int_0^{\infty} e^{-t\mathcal{L}} f(x) \, t^{\alpha/4} \frac{dt}{t}, \ \ \ \alpha \gt 0.\]
Para cada $t \gt 0$, el operador $e^{-t\mathcal{L}}$ es un operador integral con núcleo $K_t$.
Logramos resultados de suavidad del núcleo $K_t$ análogos a los encontrados en $[1]$ para el núcleo del calor asociado al operador de Schrödinger. A partir de estas estimaciones pudimos demostrar el siguiente resultado, siguiendo los lineamientos dados en $[2]$ para este nuevo operador.
Teorema: Sea $V$ un potencial en la clase $RH_q$ con $q\geq d/2$ y sea $\delta_0=\min\{1,2-\frac{d}{q}\}$. Sean $0 \lt \alpha \lt d$, $\frac{d}{\alpha}\leq p \lt \frac{d}{(\alpha-\delta_0)^+}$ y $w\in RH_{p'}\cap D_{\eta}$, donde $1\leq\eta \lt 1-\frac{\alpha}{d} + \frac{\delta_0}{d} + \frac{1}{p}$. Entonces, el operador $\mathcal{L}^{-\alpha/4}$ es acotado de $L^{p,\infty}(w)$ en $BMO_{\mathcal{L}}^{\alpha-d/p}(w).$
Trabajo en conjunto con: Bruno Bongioanni (Universidad Nacional del Litoral, Argentina) y Marisa Toschi (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).
Referencias
[1] Jacek Dziubanski; Jacek Zienkiewicz. H^p spaces for Schrödinger operators. Fourier analysis and related topics (Bedlewo, 2000), 45--53, Banach Center Publ., 56, Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2002.
[2] Bruno Bongioanni; Eleonor Harboure; Oscar Salinas. Weighted inequalities for negative powers of Schrödinger operators. J. Math. Anal. Appl. 348 (2008), no. 1, 12--27.