UMA 2022
Dada una matriz $A\in \mathbb C^{m\times n}$ se busca hallar una matriz $\hat A$ tal que rank$(\hat A)\leq h$ ($1\leq h \lt \lt \min\{m,\,n\}$) y que el error en la aproximación $\|A- \hat A\|$ sea lo más chico posible. Si $A=U\Sigma V^*$ es una descomposición en valores singulares (DVS) sea $\Sigma_h$ la matriz que se obtiene de $\Sigma$ modificando las entradas diagonales $(\Sigma_h)_{jj}=0$, $h+1\leq j\leq \min\{m,n\}$. Entonces $A_h=U\Sigma_h V^*$ es una matriz tal que rank$(\hat A)\leq h$ y tal que $\|A-A_h\|\leq \|A-B\|$, para toda matriz $B$ tal que rank$(B)\leq h$. Si bien $A_h$ es una solución óptima al problema planteado, la complejidad del cálculo de una DVS - cuando $\min\{m,n\}$ es muy grande - induce a considerar otras soluciones computacionalmente menos complejas.
Un método popular para el cálculo de aproximaciones de $A$ por matrices de rango bajo es el llamado método del subpesacio iterativo (MSI): comenzando con una matriz $X\in \mathbb C^{n\times t}$ (para $h\leq t \lt \lt \min\{m,n\}$) que satisface ciertas propiedades de compatibilidad con $A$, se calculan iterativamente las matrices $A^qX$, $q\geq 1$. Si las columnas de $Q\in \mathbb C^{n\times s}$ forman una base ortonormal del rango de $A^qX$ entonces el MSI calcula la aproximación óptima $(Q^*A^qX)_h$ de $Q^*A^qX\in \mathbb C^{s\times t}$ y propone como aproximación de $A$ a la matriz $Q(Q^*A^qX)_h$.
Los análisis de convergencia del MSI (en funci\'on de $q\geq 0$) en el contexto determinístico se obtienen típicamente bajo la hipótesis $\sigma_h \gt \sigma_{h+1}$, donde $\sigma_1\geq \ldots\sigma_p\geq 0$ denotan los valores singulares de $A$ y $p=\min\{m,n\}$. En esta charla des\-cri\-bimos un enfoque diferente para el análisis de convergencia en el contexto determinístico, en donde no se requiere el salto $\sigma_h \gt \sigma_{h+1}$ en el índice $h$, sino que se aprovechan saltos existentes de los valores singulares de $A$ en índices próximos a $h$.