UMA 2022
Sea $\mathbb{F}_q$ el cuerpo finito de $q$ elementos. Un sistema de ecuaciones diagonales generalizadas es un sistema de la forma: \[ \left\{ \begin{array}{lcc} a_{11}x_1^{d_{11}}+a_{12}x_2^{d_{12}}+\cdots+a_{1t}x_t^{d_{1t}}=g_1(x_1,\ldots,x_k)\\ \hspace{50px}\vdots\\ a_{n1}x_1^{d_{n1}}+a_{n2}x_2^{d_{n2}}+\cdots+a_{nt}x_t^{d_{nt}}=g_n(x_1,\ldots,x_k)\\ \end{array} \right. \]
con $k \leq t$, $g_1,\ldots,g_n\in \mathbb{F}_q[x_1,\ldots,x_k]$, $grado(g_j) \lt d_t$ para $1\leq j\leq n$ y $d_t \gt d_{t-1} \gt \cdots \gt d_1 \gt 1$.
Diversos problemas de teoría de códigos, criptografía y combinatoria sobre cuerpos finitos requieren estimar o poder garantizar la existencia de soluciones racionales (soluciones con coordenadas en $\mathbb{F}_q$ ) de sistemas de la forma $(1)$ (ver, por ejemplo, [1] y [2]). Para el caso particular de una única ecuación diagonal existen muchos resultados, incluso hay fórmulas de conteo exacto de soluciones racionales para ecuaciones especiales. En [3] las autoras proporcionan estimaciones y resultados de existencia para variantes de ecuaciones diagonales. En cambio, cuando se trata de sistemas, se encuentran muchos menos resultados. En [4] las autoras estudian un caso particular de $(1)$ que se trata de los sistemas en los que $d_{ji}=d_{ki}$ si $k\neq j$ para $1\leq i\leq n$ y obtienen resultados que mejoran en diversos aspectos los de [5] y [6].
En este trabajo estudiamos la siguiente versión de $(1)$: consideramos $d_{ij}=d_{ik}$ para $ k\neq j$, $1\leq i\leq n$ y $g_i \in \mathbb{F}_q$ para todo $1\leq i\leq n$.
Nuestro interés en este sistema radica en que en primer lugar no se cuenta con resultados de existencia ni estimaciones de la cantidad de soluciones racionales del mismo y por otro lado en que el estudio del conjunto de sus soluciones racionales tiene aplicaciones a diferentes problemas en cuerpos finitos como, por ejemplo, el "Subset Sum Problem" y el estudio de los deep holes en el código de Reed Solomon.
Nuestra metodología consiste en considerar la variedad algebraica definida por los polinomios $f_j=a_{j1}x_1^{d_j}+\cdots+a_{jt}x_t^{d_j}-b_j$ para $1\leq j\leq n$ y estudiar las propiedades geométricas de la misma. A partir de este estudio se obtienen estimaciones y resultados de existencia de soluciones racionales del sistema.
Finalmente aplicamos los resultados obtenidos al estudio del "Subset Sum Problem" sobre cuerpos finitos.
Trabajo en conjunto con: Mariana Pérez (Universidad Nacional de Hurlingham, Argentina) y Melina Privitelli (Universidad Nacional de General Sarmiento, Argentina).
Referencias
[1] R. Lidl y H. Niederreiter. Finite fields, Adisson-Wesley, Reading, Massachusetts, 1983.
[2] Gary L. Mulln y Daniel Panario, Handbook of Finite Fields (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, 2013.
[3] M. Pérez y M. Privitelli, Estimates on the number of rational solutions of variants of diagonal equations over finite fields, Finite Fields and Appl. 68,(2020), pp. 30.
[4] M. Pérez y M. Priivitelli, on the number of solutions of systems of certain diagonal equations over finite fields, Journal of Number Theory 236 (2022), 160-187.
[5] K. W. Spackman, Simultaneous solutions to diagonal equations over finite fields, J. Number Theory 11 (1979), 100-115.
[6] K. W. Spackman, On the number and distribution of simultaneous solutions to diagonal congruences, Canadian J. Math 33 (1981), no. 2. 421-436.