UMA 2022

Sesión Ecuaciones Diferenciales y Probabilidad

Existencia de soluciones periodicas de un sistema no Lineal y con medidas

Lorenzo Fabian Sierra

UNLPam, Argentina   -   lorenzofsierra@gmail.com

Propuesta de Comunicación- UMA2022

Resumen:

Sea $H^1([0,T],\mathbb{R}^n)$ el espacio de funciones $u:[0,T]\to \mathbb{R}^n$ tal que $u\in L^2$ al igual que su derivada débil. Vamos a trabajar en el espacio $H^1_T([0,T],\mathbb{R}^n)=\{u\in H^1([0,T]) \text{ tal que } u(0)=u(T) \}$

Sea $\lambda$ la medida de Lebesgue y sea $\mu$ una medida de Borel con signo. Consideramos\\ $e:[0,T]\to\mathbb{R}^n$ en $L^1(|\mu|)$ tal que $\displaystyle\int_{[0,T)}e(t)d\mu=0$, y $F:[0,T]\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ que satisface las siguientes condiciones:

(C) $F$ y $\nabla F$ son funciones medibles Borel en $t\in [0,T]$ $\forall x\in\mathbb{R}^n$, $F$ y $\nabla F$ son continuas con respecto a $x\in\mathbb{R}^n$ para $\lambda$-c.t.p. $t \in [0,T]$.

(A) Para $\lambda$-c.t.p. $t\in [0,T]$, vale que $$|F(t,x)| + |\nabla F(t,x)| \leq a(x)b(t),$$ para toda $x$, donde $a\in C\left(\mathbb{R}^n,[0,+\infty)\right)$ y $0\leq b\in L^1(\lambda)$.

(P) $F(t,x)=F(t,x+P_i\hat{e}_i)$ para todo $i=1,\ldots,n$ donde $P_i\in\mathbb{R}$ y $\hat{e}_i$ son los vectores canónicos.

Consideramos el problema $$\left\{% \begin{array}{ll} u''= \nabla F(t,u)+e(t)\mu \\ u(0)-u(T)=0\\ u'(0)-u'(T)=0 \end{array}% \right.$$ Diremos que $u$ es solución débil del problema si $$\int_{0}^{T} u'(t)\psi'(t)dt=-\int_{0}^{T}\nabla F(t,u)\psi(t)dt-\int_{[0,T)}e(t)\psi(t)d\mu$$ $\forall\psi\in H^1_T([0,T],\mathbb{R}^n)$. Aplicamos el M\'etodo Directo del C\'alculo de Variaciones y el Teorema del Paso de Montaña para demostrar la existencia de dos soluciones las cuales son puntos críticos del funcional. $\varphi_e:H^1_T([0,T])\to \mathbb{R}$ dado por $$\varphi_e(u)= \int_{0}^{T}\dfrac{|u'(t)|^2}{2}+F(t,u(t))dt+\int_{[0,T)}e(t)u(t)d\mu.$$

Trabajo en conjunto con: ACINAS Sonia Ester (Universidad Nacional de La Pampa; sonia.acinas@gmail.com) y MAZZONE Fernando (Univercidad Nacional de Rio Cuarto; ).

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