UMA 2022
El análisis de la no negatividad de polinomios reales sobre subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ es un problema clásico, cuyos orígenes se remontan al Problema 17 de Hilbert que plantea que todo polinomio no negativo en $\mathbb{R}^n$ es suma de cuadrados de funciones racionales. Más generalmente, un certificado de no negatividad para un polinomio $f$ sobre un conjunto semi-algebraico $S$ es una identidad algebraica que pone en evidencia que $f(x) \ge 0$ para todo $x\in S$. Estos certificados han sido aplicados, por ejemplo, en el desarrollo de algoritmos de optimización polinomial.
Si $S=\{ x\in \mathbb{R}^n \mid g_1(x)\ge 0, \dots, g_s(x) \ge 0\}$ con $g_1, \dots, g_s\in \mathbb{R}[\mathbf{x}]= \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n]$, todo polinomio en $M(g_1, \dots, g_s):= \{ \sigma_0 + \sum_{1\le i\le s} \sigma_i g_i \mid \sigma_i \hbox{ es suma de cuadrados en } \mathbb{R}[\mathbf{x}]\}$ es no negativo en $S$. El Positivstellensatz de Putinar (ver [3]) establece que, si $R -\| \mathbf{x}\|^2 \in M(g_1, \dots, g_s)$ para algún $R \in \mathbb{R}_{ \gt 0}$ (donde $\| \mathbf{x}\|^2:=\sum_{1\le j \le n} x_j^2$), todo $f\in \mathbb{R}[\mathbf{x}]$ positivo en $S$ pertenece a $M(g_1,\dots, g_s)$ y, en [2], se dieron cotas para los grados de los polinomios en una representación de $f$ como elemento de $M(g_1,\dots, g_s)$.
La hipótesis $R - \| \mathbf{x}\|^2 \in M(g_1, \dots, g_s)$ en el Positivstellensatz de Putinar implica que $S$ es compacto. Una generalización para conjuntos no compactos fue dada en [4, Theorem 4.2]: bajo ciertas hipótesis sobre $f, g_1, \dots, g_s$, se muestra que existe $B\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ tal que $(1+ \| \mathbf{x}\|^2 ) ^B f \in M(g_1, \dots, g_s)$. Por otra parte, en [1] se extendió el Positivstellensatz de Putinar a cilindros del tipo $S\times \mathbb{R}\subset \mathbb{R}^{n+1}$: bajo las mismas hipótesis sobre los polinomios $g_1,\dots, g_s\in \mathbb{R}[\mathbf{x}]$ que definen a $S\subset \mathbb{R}^n$, se prueba que si $f\in \mathbb{R}[\mathbf{x},y]$ es positivo en $S\times \mathbb{R}$ y satisface una condición técnica adicional, entonces $f\in M_{\mathbb{R}[\mathbf{x},y]}(g_1, \dots, g_s) := \{\sigma_0(\mathbf{x},y) + \sum_{1\le i\le s} \sigma_i(\mathbf{x},y) g_i(\mathbf{x}) \mid \sigma_i (\mathbf{x},y)\hbox{ suma de cuadrados en }\mathbb{R}[\mathbf{x},y]\}$, y se dan cotas para los grados de una representación.
En esta comunicación presentamos un nuevo certificado de no negatividad para polinomios positivos sobre conjuntos no compactos contenidos en cilindros. Si $S= \{(x,y)\in \mathbb{R}^{n+1} \mid g_1(x,y) \ge 0, \dots, g_s(x,y) \ge 0\}$ tal que $R- \| \mathbf{x} \|^2 \in M_{\mathbb{R}[\mathbf{x},y]}(g_1, \dots, g_s) $ para algún $R\in \mathbb{R}_{ \gt 0}$ y $f \in \mathbb{R}[\mathbf{x},y]$ es positivo en $S$, bajo ciertas hipótesis sobre $f, g_1, \dots, g_s$, mostramos que existen $N\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ y polinomios $\sigma_0, \sigma_1, \dots, \sigma_s$ que son sumas de cuadrados en $\mathbb{R}[\mathbf{x},y]$ tales que \[(1+y^2)^N f =\sigma_0 + \sigma_1 g_1 + \cdots + \sigma_s g_s,\] con cotas para $N$ y los grados de $\sigma_0, \sigma_1, \dots, \sigma_s$.
Trabajo en conjunto con: Daniel Perrucci (Universidad de Buenos Aires y CONICET, Argentina)..
Referencias
[1] P. Escorcielo, D. Perrucci. A version of Putinar's Positivstellensatz for cylinders, J. Pure Appl. Algebra, Volume 224, Issue 12, 2020, 106448.
[2] J. Nie, M. Schweighofer. On the complexity of Putinar’s Positivstellensatz. J. Complexity 23 (2007), no. 1, 135–150.
[3] M. Putinar. Positive polynomials on compact semi-algebraic sets. Indiana University Mathematics Journal, 42(3): 969–984, 1993.
[4] M. Putinar, F.-H. Vasilescu. Solving moment problems by dimensional extension. Ann. Math. 149 (1999), 1087-1107.