UMA 2022
En el mundo real existen fenómenos que están sujetos a perturbaciones a corto plazo, cuya duración es insignificante respecto al proceso completo. Es natural, por lo tanto, suponer que estas perturbaciones actúan instantáneamente o en forma de ``impulso''. Estos fenómenos se modelan, entre otras, con ecuaciones diferenciales impulsivas y también con ecuaciones diferenciales con medida (pudiendo considerarse las primeras como un caso particular de las segundas).
En este trabajo investigamos el siguiente problema a valores iniciales, para una ecuación diferencial con medida:
$$ \left\{ \begin{split} d\varphi &=f(t,\varphi)\mu,\\ \varphi(t_0^{}) & =x _0^{}, \end{split} \right. $$ donde $f:\Omega\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n\times m}$ es una matriz cuya componentes son funciones de Carathéodory, $\mu$ es un vector de $\mathbb{R}^m$ cuyos elementos son medida y $d\varphi$ representa la medida vectorial de Lebesgue-Stieltjes asociada a $\varphi$. Para dicho problema a valores iniciales, damos un concepto de solución adecuado para el mismo, estudiamos la existencia y unicidad de soluciones locales, también de soluciones definidas sobre intervalos maximales, y además establecemos algunas propiedades de las mismas. La herramienta principal para demostrar los resultados es el Teorema de Picard-Lindelöf. Para aplicar satisfactoriamente este Teorema, demostramos una desigualdad del tipo $$ \int_{[a,b)}^{} f(g(t))dg(t) \leq F(g(b))-F(g(a)), $$ donde $F(x)=\int_a^x f(s)ds$ y $g$ es una función real continua por izquierda.
Trabajo en conjunto con: Stefanía Demaría (UNRC), Graciela Giubergia (UNRC) y Fernando Mazzone (UNRC).
Referencias
[1] S. T. Zavalishchin and A. N. Sesekin. Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications. Springer Science & Business Media, mar 2013.
[2] S. G. Pandit and S. G. Deo. Differential Systems Involving Impulses. Springer, nov 2006
[3] V. E. Slyusarchuk. General theorems on the existence and uniqueness of so- lutions of impulsive differential equations. Ukrainian Mathematical Journal, 52(7):1094–1106, 2000.