UMA 2022
Dado un abierto acotado $\Omega\subset{\mathbb R}^n$ consideramos, para $k\ge 2$ y $1\le p\le\infty$, el espacio de Sobolev $W^{k,p}(\Omega)$ de funciones tales que ella junto con todas sus derivadas de orden menor o igual que $k$ pertenecen a $L^p(\Omega)$.
Es un resultado conocido que bajo ciertas hipótesis sobre $\Omega$, por ejemplo que sea un dominio Lipschitz, se obtiene una norma equivalente a la usual quedándonos sólo con las normas en $L^p(\Omega)$ de la función y sus derivadas de mayor orden. Es decir, existe una constante $C$ que depende sólo de $\Omega$ y de $k$ tal que $\forall u\in W^{k,p}(\Omega)$, $$ (1) \qquad \|D^\beta u\|_p\le C \left\{\|u\|_p + \sum_{|\alpha|=k}\|D^\alpha u\|_p\right\} \quad \forall |\beta|\le k $$ En esta charla mostramos que este resultado vale en una clase muy general de dominios: aquellos para los cuales vale la desigualdad de Poincaré.
Un resultado más difícil de demostrar, y que requiere hipótesis más fuertes sobre el dominio, es que nos podemos quedar sólo con derivadas puras. Por ejemplo, para $k=2$ y $n=2$, $$ (2) \qquad \left\|\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}\right\|_p \le C \left\{ \|u\|_p +\left\|\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right\|_p +\left\|\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right\|_p \right\} $$ Demostramos que, para $1 \lt p \lt \infty$, $(2)$ vale para los dominios de John, una clase muy general que incluye a los Lipschitz. Mostramos un ejemplo simple de dominio en el cual el resultado es falso aunque sí vale (1).
Mostramos también que vale la extensión de $(2)$ al caso general $n\ge 2$ y $k\ge 2$ cuando el dominio es Lipschitz.
También mostramos que todos estos resultados son válidos para espacios de Sobolev con pesos en la clase $A_p$.
Trabajo en conjunto con: Irene Drelichman (Universidad Nacional de La Plata y CONICET, Argentina.