UMA 2022
El modelo de percolación de primera pasada euclídea se basa en un proceso de Poisson $Q$ en $\mathbb{R}^d$ de intensidad constante y dado $\alpha \gt 1$ se define la distancia entre dos puntos como: \[ T(x,y) := \inf \left\{ \sum_{j = 0}^{k-1} |q_j - q_{j+1}|^\alpha: k \geq 2\, y\, (q_1,...,q_k)\, \textrm{es un camino de puntos con }q_1 = q(x)\, \textrm{y} \,q_k = q(y) \right\} \] donde $q(x)$ es el punto más próximo a $x$ en $Q$.
Este trabajo consiste en analizar el caso con ruido, es decir, cuando el proceso de Poisson está en $\mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^{d+r}$ y a cada punto se le suma un vector aleatorio en $\mathbb{R}^{d+r}$. Estudiaremos el comportamiento de $T(x,y)$ cuando $|x-y|\rightarrow \infty$ y según que hipótesis se le pide al ruido observaremos los distintos comportamientos de $T(x,y)$.
El objetivo final es entender que pasa cuando el proceso de Poisson no está soportado en $\mathbb{R}^{d}$, sino en una variedad. Esto es relevante para entender el comportamiento de la metodología propuesta en [2] para el análisis topologico de datos en presencia de ruido.
Trabajo en conjunto con: Pablo Groisman (Universidad de Buenos Aires, Argentina).
Referencias
[1] Howard, C.D. and Newman, C.M. (1997). Euclidean models of first-passage percolation. Probab. Theory Related Fields 108 153–170. MR1452554 https://doi.org/10.1007/s004400050105
[2] Eugenio Borghini, Ximena Fernández, Pablo Groisman, and Gabriel Mindlin. Intrinsic persistent homology via density-based metric learning. arXiv preprint arXiv:2012.07621, 2020.