UMA 2022
En los años ‘30, los trabajos de Bochner, Marcinkiewicz, Paley y Zygmund dieron inicio al estudio de desigualdades vectoriales para operadores lineales. Se destacan, en este contexto, las llamadas desigualdades de Marcinkiewicz-Zygmund para operadores lineales entre espacios $L^p$. Concretamente, dados $1\leq p,q,r \leq \infty$, se dice que $(p,q,r)$ satisface una desigualdad de Marcinkiewicz-Zygmund si existe una constante $C\geq 1$ tal que para cada operador lineal acotado $T:L^q(\mu)\longrightarrow L^p(\nu)$, cada $n\in \mathbb{N}$ y cada sucesión de funciones $f_1,\ldots,f_n\in L^q(\mu)$, se verifica \[ \left\| \left(\sum_{k=1}^n |T(f_k)|^r\right)^{1/r} \right\|_{L^p(\nu)} \leq C \|T\| \left\| \left(\sum{k=1}^n |f_k|^r\right)^{1/r} \right\|_{L^q(\mu)}. \] En [2,4], los autores abordaron un estudio sistemático de este tipo de desigualdades logrando determinar el conjunto de $3$-uplas $(p,q,r)$ que satisfacen (1). En los últimos años, los llamados espacios de Lebesgue con exponente variable han cobrado gran interés debido a sus aplicaciones en el modelado de fluidos y el procesamiento de imágenes (ver [1,3]). En esta charla discutiremos la extensión de las desigualdades de Marcinkiewicz-Zygmund en el contexto de operadores definidos en estos espacios.
Trabajo en conjunto con: Daniel Carando (IMAS-Universidad de Buenos Aires, CONICET) y Martín Mazzitelli (Instituto Balseiro-UNCuyo).
Referencias
[1] Cruz-Uribe D., Fiorenza A.. Variable Lebesgue spaces: Foundations and Harmonic Analysis. Birkhäuser, Spinger, Basel, 2013.
[2] Defant A. and Junge M.. Best constants and asymptotics of Marcinkiewicz-Zygmund inequalities. Studia Math. , 125(3): 271--287, 1997.
[3] Diening L., Harjulehto P., Peter Hästö P. and Růžička M.. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents. Springer. 29-3-2011.
[4] Gasch J. and Maligranda L.. On vector-valued inequalities of Marcinkiewicz-Zygmund, Herz and Krivine type. Math. Nachr., 167: 95--129, 1994.