UMA 2022
A diferencia del caso clásico, los operadores intuicionistas necesidad $\left( \square\right) $ y posibilidad $\left( \Diamond\right) $ no son duales, lo cual nos brinda más posibilidades para definir diferentes lógicas intuicionistas modales. En la literatura de la lógica modal intuicionista, existen tres lógicas modales básicas: la lógica $\mathbf{IntK}_{\square}$ definida en el lenguage con un operador modal $\square,$ la lógica $\mathbf{IntK}_{\Diamond}$ definida en el lenguaje con un operador modal $\Diamond$ y la lógica $\mathbf{IntK}_{\square\Diamond}$ definida en el lenguaje con dos operados modales $\square$ y $\Diamond$.
Entre las lógicas intuicionistas modales que extienden la lógica $\mathbf{IntK}_{\square\Diamond}$ la lógica $\mathbf{FS,}$ definida y estudiada por G. Fischer Servi en [4], juega un rol relevante. La semántica relacional de $\mathbf{FS}$ son marcos de Kripke bi-relacionales $\left\langle X,\leq,R\right\rangle $ donde $\leq$ es un cuasi-orden definido en \ $X$ y $R$ una relación binaria de accesibilidad para los operadores modales que satisface las siguientes condiciones de primer orden:
$\mathrm{(RFS1)}$: $\left( \leq^{1}{\circ}R\right) \subseteq\left( R{\circ}\leq^{-1}\right) $,
$\mathrm{(RFS2)}$: $\left( R{\circ}\leq\right) \subseteq\left( \leq{\circ}R\right) $.
Estas condiciones relacionales se corresponden con los siguientes axiomas característicos de $\mathbf{FS}$
$\mathrm{(FS1)}$: $\Diamond\left( \alpha\rightarrow\beta\right) \rightarrow\left( \square\alpha\rightarrow\Diamond\beta\right) $,
$\mathrm{(FS2)}$: $\left( \Diamond\alpha\rightarrow\square\beta\right) \rightarrow\square(\alpha\rightarrow\beta)$.
En esta charla introducimos a las álgebras de Hilbert Fischer Servi que son el fragmento positivo de la lógica $\mathbf{FS}$. Son álgebras de Hilbert con supremo en las que se definen dos operadores modales $\square$ y $\Diamond$ que satisfacen ciertas ecuaciones que los inter-relacionan. Mostramos una dualidad del tipo espectral para las álgebras de Hilbert Fischer Servi, utilizando espacios topológicos sober dotados de una relación binaria, la cual es utilizada para representar los operadores $\square$ y $\Diamond$ en el álgebra dual. Esta dualidad está basada en la representación topológica para las álgebras de Hilbert acotadas con supremo dada en [1], y en las representaciones topológicas para las álgebras de Hilbert modales con operador necesidad y posibilidad dadas en [2] y [3], respectivamente.
Referencias
[1] S. A. Celani and D. Montangie, Hilbert Algebras with supremum, Algebra Universalis Vol. 67, No. 3 (2012), pp. 237-255.
[2] S. A. Celani and D. Montangie, Hilbert Algebras with a necessity modal operator, Reports on Mathematical Logic, 49, (2014), pp. 47-77.
[3] S. A. Celani and D. Montangie, Hilbert Algebras with a modal operator $\Diamond$, Studia Logica Vol. 103, Issue 3 (2015), pp. 639-662.
[4] }G. Fischer Servi, Axiomatizations for some intuitionistic modal logics. Rendiconti del Seminario Matematico della Universit`a Politecnica di Torino 42 (1984), pp. 179-194.