UMA 2022
Dado un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, consideremos dos operadores acotados y autoadjuntos $A:\mathcal{H}\to\mathcal{H}$ y $B:\mathcal{H}\to\mathcal{H}$. Considerando el haz \[ P(\lambda)=A+\lambda B,\quad\quad\lambda\in\mathbb{R}, \] nos interesa analizar las condiciones necesarias y suficientes para que los conjuntos \[ I_\geq(A,B)=\big\{\rho\in\mathbb{R}\,:\,A+\rho B\quad\text{es semidefinido positivo}\big\}, \] \[ I_ \gt (A,B)=\big\{\rho\in\mathbb{R}\,:\,A+\rho B\quad\text{es definido positivo}\big\}, \] sean no vacíos, y las características de $P(\lambda)$ cuando $\lambda$ toma valores en éstos.
El conjunto $I_\geq(A,B)$ resulta ser un intervalo $[\lambda_-,\lambda_+]$, y en el caso en que $I_ \gt (A,B)$ es no vacío mostraremos que este último resulta ser el intervalo abierto $(\lambda_-,\lambda_+)$. Analizaremos las características del núcleo y del rango de los operadores de la forma $A+\lambda B$ a medida que el parámetro $\lambda$ se mueve a lo largo de este intervalo, y mostraremos que muchas propiedades se mantienen invariantes.
Trabajo en conjunto con: Francisco Martínez Pería (Instituto Argentino de Matemática “Alberto P. Calderón”, Argentina; CMaLP, Argentina) y Alejandra Maestripieri (Instituto Argentino de Matemática “Alberto P. Calderón”, Argentina; FIUBA, Argentina).