UMA 2022
Sean $n$ y $p$ enteros positivos. Denotamos con $S_{p,\Xi}$ al espacio de dimensión $n$ de funciones splines de grado $p$ definido sobre un vector de nodos $\Xi= \{\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n+p+1}\}$. Dada $f\in S_{p, \Xi}$, la misma se puede expresar a partir de $n$ coeficientes $\textbf{c}=(c_i)_{i=1}^n$ mediante $$f=\sum_{i=1}^{n} c_i B_{i,p,\Xi}$$ donde $B_{i,p,\Xi}$ denota la i-ésima B-spline de grado $p$ asociada a $\Xi$. Ahora, dado $i_0$ tal que $\xi_{i_0-1} \leq \xi_{i_0} \lt \xi_{i_0+1}$, definimos $\bar{\Xi}= \Xi \setminus \{\xi_{i_0}\}$ y denotamos con $S_{p, \bar{\Xi}}$ al espacio de funciones spline de grado $p$ sobre $\bar{\Xi}$ y de dimensión $n-1$.
Problema 1: Queremos hallar un spline $g\in S_{p, \bar{\Xi}}$ tal que $$ g=\arg\min_{h\in S_{p,\bar{\Xi}}} \|f-h\|_{L^2} $$ Para ello planteamos el siguiente Problema 2 equivalente a 1: Dado un spline $f\in S_{p,\Xi}$ se desea calcular un vector $\hat{\textbf{c}} \in \mathbb{R}^{n-1}$ tal que $$ \hat{\textbf{c}}= \arg\min_{z\in \mathbb{R}^{n-1}} \|E^\frac{1}{2}(Az-\textbf{c}) \|_{2} $$
donde $A$ es la matriz de inserción de nodos global de $S_{p,\bar{\Xi}}$ en $S_{p,\Xi}$ y $E$ es una matriz diagonal.
Una vez probada la equivalencia entre el Problema 1 y Problema 2, nos centraremos en encontrar la solución $\hat{\textbf{c}}$ del Problema 2.
En la búsqueda del vector $\hat{\textbf{c}}$ se prueba que este tiene ciertas propiedades, por un lado es solución de un sistema lineal de la forma $B^T B \hat{\textbf{c}}= B^T \textbf{c}$ y que el residuo del sistema global de orden $n$ se puede reducir al de un sistema lineal local más pequeño de orden $p+2$.
Por último veremos que el residuo de este sistema pequeño se puede calcular como una combinación de ciertas componentes del vector $\textbf{c}$, la cual proviene de una descomposición QR de la matriz $B$.
Trabajo en conjunto con: Eduardo M. Garau (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).