UMA 2022
Sea $N$ un grupo de Lie nilpotente y $K$ un subgrupo compacto del grupo de automorfismos $Aut(N)$ de $N$. Se sabe que si $(K\ltimes N,K)$ es un par de Gelfand entonces $N$ es un grupo de Lie a lo sumo $2$-pasos nilpotente (ver [1]).
La noción de par de Gelfand fue generalizada cuando $K$ es un grupo no compacto. En [5] se presenta un par de Gelfand generalizado de la forma $(K_1\ltimes N_1,K_1)$ donde $N_1$ es un grupo de Lie $3$-pasos nilpotente y $K_1$ es isomorfo a $\mathbb{R}^{2}$.
En este trabajo encontramos, para $m\geq 2$ una familia $(K_m\ltimes N_m,K_m)$ de pares de Gelfand generalizados donde $N_m$ es un grupo de Lie $m+2$-pasos nilpotente y $K_m$ es isomorfo a $\mathbb{R}^{m+1}$.
Trabajo en conjunto con: José Ignacio García (Universidad Nacional de Salta) y Linda Saal (Universidad Nacional de Córdoba).
Referencias
[1] Benson, C., Jenkins, J., Ratcliff, G., On Gelfand pairs associated with solvable Lie groups, Trans. Amer. Math. Soc. 321 (1990), 85-116.
[2] Benson, C., Jenkins, J., Ratcliff, G., The orbit method and Gelfand pairs associated with nilpotent Lie groups, J. Geom. Anal. 9 (1999), 569-582.
[3] Van Dijk, G., Group representations on spaces of distributions, Russian J. Math. Phys. 2 (1994), 57-68.
[4] Dixmier, J., Sur les representations unitaires des groupes de Lie nilpotents. III, Canadian J. Math. 10 (1958), 321-348.
[5] Gallo, A., Saal, L., A generalized Gelfand pair attached to a 3-step nilpotent Lie group, J. Fourier Anal. Appl. Vol 26, 62 (2020)
[6] Kirillov, A.A., Unitary representations of nilpotent Lie groups, Russian Math. Surveys 17 (1962), 53-104.
[7] Kobayashi, T., Multiplicity free representations and visible actions on complex manifolds, Publ. RIMS Kyoto Univ. 41 (2005), 497-549.
[8] Mackey, G. W., Unitary group representations in Physics, Probability, and Number Theory, Mathematics Lecture Note series 55 (1978).
[9] Mokni, K., Thomas, E.G.F., Paires de Guelfand généralisées associées au groupe d'Heisenberg, J. Lie Theory 8 (1998), 325-334.
[10] Ratcliff, G., Symbols and orbits for 3-step nilpotent Lie groups, J. Funct. Anal. 62 (1985), 38-64.