Sesión AnálisisUn Teorema $T1$ para Operadores Integrales Fraccionarios
Bruno Urrutia
IMAL (CONICET - UNL), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Una herramienta relevante en el marco del estudio de familias de operadores integrales son los teoremas $T1$. En [1] podemos encontrar resultados sin pesos para operadores integrales singulares y fraccionarios, mientras que en [2] se estudia el caso pesado para integrales singulares.
En nuestro trabajo, a través del estudio de operadores maximales, logramos un resultado de acotación de operadores fraccionarios entre espacios de Lebesgue, lo que nos permitió dar un teorema $T1$ con condiciones equivalentes para la acotación de estos operadores en espacios de tipo $BMO$ con pesos.
Sea $T$ un operador integral con núcleo $K$, esto es $$Tf(x)=\int_{\mathbb{R}^d} K(x,y)f(y)dy, x\in\mathbb{R}^d.$$
Sea $0 \lt \nu \lt d$, $1 \lt \sigma \lt \infty$, $0 \lt \delta \leq 1$. Decimos que un núcleo $K$ es un núcleo $\rho$-fraccionario de tipo $(\nu,\sigma,\delta)$ si, para cada $N \gt 0$, existe una constante $C_N$ tal que $$\left(\frac{1}{R^d} \int_{R \lt |x_0-y| \lt 2R} |K(x,y)|^{\sigma} dy \right)^{1/\sigma} \leq C_NR^{-d+\nu} \left(1+\frac{R}{\rho(x)}\right)^{-N},$$ para $|x-x_0| \lt R/2$ y $$\left(\frac{1}{R^d} \int_{R < |x_0-y| < 2R} |K(x,y)-K(x_0,y)|^{\sigma} dy \right)^{1/\sigma} \leq C_NR^{-d+\nu}\left(\frac{r}{R}\right)^{\delta} \left(1+\frac{R}{\rho(x)}\right)^{-N},$$ para $|x-x_0| \lt r \lt \rho(x_0)$ y $r \lt R/2$.
Teorema: Sea $T$ un operador integral con núcleo $K$, $\rho$-fraccionario de tipo $(\nu,\sigma,\delta)$ y de tipo débil $(1,d/(d-\nu))$. Sean $\beta$ y $\mu$ números fijos tales que $0 \lt \nu \lt d$, $0 \leq \beta \lt \delta$ y $1 \leq \mu \lt 1+\frac{\delta-\nu-\beta}{d}$. Luego, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) Existe una constante $C$ tal que la función $T1$ satisface $$\frac{1}{|B|^{1+\nu/d}}\int_{B}|T1(y)-(T1)_B|dy \leq C\left(\frac{r}{\rho(x_0)}\right)^{\beta+d(\mu-1)},$$ para toda bola $B=B(x_0,r)$, $x_0 \in \mathbb{R}^{d}$ y $0 \lt r \lt \rho(x_0)/2$, si $\beta \gt 0$ o $\mu \gt 1$, o $$\frac{1}{|B|^{1+\nu/d}}\int_{B}|T1(y)-(T1)_B|dy \leq C\log^{-1}\left(\frac{\rho(x_0)}{r}\right),$$ para toda bola $B=B(x_0,r)$, $x_0 \in \mathbb{R}^{d}$ y $0 \lt r \lt \rho(x_0)/2$, si $\beta = 0$ y $\mu = 1$.
(b) $T$ es acotado de $BMO^{\beta}_{\rho}(w)$ en $BMO^{\beta+\nu}_{\rho}(w)$ for every $\displaystyle w\in F_{\sigma}^{\rho}\cap D_{\mu}^{\rho}$ con norma del operador dependiendo solo de $w$ a través de las constantes de las clases $F_{\sigma}^{\rho}$ y $D_{\mu}^{\rho}$.
(c) $T$ es acotado de $BMO^{\beta}_{\rho}(w)$ en $BMO^{\beta+\nu}_{\rho}(w)$ para pesos de la forma $w(x) = |x-x_0|^{d(\mu-1)}$, $x_0\in\mathbb{R}^d$, con norma del operador independiente de $x_0$.
Trabajo en conjunto con: Bruno Bongioanni (Universidad Nacional del Litoral, Argentina) y Marisa Toschi (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).
Referencias
[1] Tao Ma, Pablo Raúl Stinga, José L. Torrea, and Chao Zhang. Regularity estimates in Hölder spaces for Schrödinger operators via a T1 theorem. Ann. Mat. Pura Appl. (4), 193(2):561–589, 2014.
[2] Bruno Bongioanni, Eleonor Harboure, Pablo Quijano. Weighted inequalities for Schrödinger type singular integrals. J. Fourier Anal. Appl., 25(3):595–632, 2019.