Sesión AnálisisProblemas de distancias entre G-marcos
María José Benac
Departamento Académico de Matemática - FCEyT- UNSE, CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Una familia $\mathcal F=\{T_i\}_{i\in I}$ de operadores lineales acotados $T_i: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^n$ es un G-marco para $\mathbb{C}^d$ si existen constantes $a, b > 0$ tales que \[a \|x\|^2\leq \sum_{i\in I} \|T_i \, x\|^2 \leq b \|x\|^2,\] para cada $x\in \mathbb{C}^d$. Si sólo se verifica la desigualdad superior, decimos que $\mathcal F$ es una sucesión G-Bessel para $\mathbb{C}^d$.
Dada una sucesión G-Bessel $\mathcal F=\{T_i\}_{i\in I}$, su operador de marco $S_{\mathcal F}$ se define como \[S_{\mathcal F}=\sum_{i\in I} T^*_i T_i.\]
Sea $\alpha=(\alpha_i)_{i\in I_m}$ una sucesión finita de pesos positivos ordenada en forma no creciente. Consideramos el conjunto \[\Lambda_{\alpha}=\{\mathcal {F}=\{T_i\}_{i\in I_m}: \mathcal{F}\,\ \text{es una sucesión G-Bessel para}\,\ \mathcal{H},\,\ \text{con}\,\ \|T_i \|^2_2=\alpha_i\},\] donde $\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert de dimensión finita.
Sea $A$ un operador semi definido positivo de $\mathcal{H}$. El objetivo de esta charla es calcular
\[\min_{\mathcal{F} \in \Lambda_{\alpha}} \|A- S_{\mathcal{F}}\|^2_2,\] y caracterizar las sucesiones G- Bessel que alcanzan la distancia mínima.
Trabajo en conjunto con: Noelia Belén Rios (Centro de Matemática de La Plata, FCE - UNLP, Argentina - IAM-CONICET, Argentina) y Mariano Ruiz (Centro de Matemática de La Plata, FCE - UNLP, Argentina - IAM-CONICET, Argentina).