Sesión AnálisisDistancia entre espacios métricos de probabilidad y aplicaciones
Carlos Exequiel Arias
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral - IMAL, CONICET, UNL, CCT CONICET Santa Fe, Colectora Ruta Nac. N 168, Paraje El Pozo, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Las nociones fundamentales de distancia entre espacios métricos por una parte, y de distancia entre medidas por otra, están bien desarrolladas y han adquirido una relevancia reciente por los trabajos de Misha Gromov en Geometría y por la teoría del Transporte Óptimo. En este trabajo conjugamos estas ideas para definir conceptos de distancias entre espacios métricos con medidas de probabilidad y aplicarlos al análisis de datos de SUBE en AMBA. En particular consideramos la extensión de dos de los conceptos que Misha Gromov introduce en [4], el enfoque Gromov-Lipschitz y el enfoque Gromov-Hausdorff, combinados con varios de los conceptos de distancia entre medidas probabilísticas, en particular con la de Kantorovich - Rubinstein - Wasserstein (Ver[5]). Antecedentes de estas ideas pueden encontrarse en [2]. Para la aplicación al transporte público registrado por SUBE en AMBA usamos [1] y para las métricas difusivas mencionamos los trabajos pioneros de Coifman y Lafon [3].
Sean $(X,d,\mu)$ e $(Y,\delta,\nu)$ dos espacios métricos con $\mu$ y $\nu$ probabilidades borelianas. Sea $\Lambda=\{f:(X,d)\rightarrow (Y,\delta) \,\, bi-Lipschitz\}$ y, si $\Lambda \neq \emptyset$, para cada $f \in \Lambda$ definimos las medidas probabilísticas $\tilde{\mu}_f=\nu \circ f$ y $\tilde{\nu}_f=\mu \circ f^{-1}$. Sea $\rho_X$ una distancia entre medidas probabilísticas en $X$ y $\rho_Y$ una distancia entre medidas probabilísticas en $Y$. Definimos la distancia de \textbf{Gromov-Lipschitz} con $\rho_X$ y $\rho_Y$ entre $(X,d,\mu)$ e $(Y,\delta,\nu)$ como $$d_{GL}^{\rho_X \rho_Y}((X,d,\mu),(Y,\delta,\nu))=\inf\limits_{f\in \Lambda}\{|\log dil(f)|+|\log dil(f^{-1})|+\rho_X (\mu,\tilde{\mu}_f)+\rho_Y(\nu,\tilde{\nu}_f)\}$$ donde $dil(f)= \sup_{x_1\neq x_2} \frac{\delta(f(x_1),f(x_2))}{d(x_1,x_2)}$ es el coeficiente de dilatación de $f$.
Para el enfoque de \textbf{Gromov-Hausdorff} consideramos la familia $ \mathcal{Z}$ de todos los espacios métricos $(Z,\partial)$ tales que $(X,d)$ e $(Y,\delta)$ están inmersos isométricamente en $(Z,\partial)$. También consideramos las familias $\mathcal{I}(X,Z)$ e $\mathcal{I}(Y,Z)$ de todas estas inmersiones isométricas $\varphi:X\rightarrow Z$ y $\psi:Y\rightarrow Z$ respectivamente. Dadas $\varphi \in \mathcal{I}(X,Z)$ y $\psi\in \mathcal{I}(Y,Z)$ consideramos los respectivos ``push forward'' de $\mu$ y $\nu$ por $\varphi$ y $\psi$ para obtener dos medidas de Borel probabilísticas en $(Z,\partial)$ como $\mu_\varphi=\mu \circ \varphi^{-1}$ y $\nu_\psi=\nu \circ \psi^{-1}$. Entonces como $\mu_\varphi$ y $\nu_\psi$ son medidas de probabilidad en $(Z,\partial)$ podemos calcular, por ejemplo, su distancia de Kantorovich en $(Z,\partial)$ y así definir la distancia de Gromov-Hausdorff entre $(X,d,\mu)$ e $(Y,\delta,\nu)$ como $$d_{GH}^K\left( (X,d,\mu),(Y,\delta,\nu)\right)=\inf_{\substack{(\mathcal{Z},\partial)\in \mathbb{Z}\\ \varphi \in \mathcal{I}(X,\mathcal{Z})\\ \psi\in \mathcal{I}(Y,\mathcal{Z})}} \max\{d_{H,\partial}(\varphi(X),\psi(Y)),d_{K,\partial}(\mu_\varphi,\nu_\psi)\}$$ donde $d_{H,\partial}$ denota la distancia de Hausdorff entre conjuntos de $Z$ y $d_{K,\partial}$ la de Kantorovich (Wasserstein 1) en $(Z,\partial)$.
Para estas dos cantidades $d_{GL}^{\rho_X \rho_Y}$, $d_{GH}^K$, probamos propiedades métricas básicas y las aplicamos al análisis de datos provistos por el sistema SUBE en el AMBA, modelizado por grafos no dirigidos ponderados y con distintos atributos en los vértices, que son casos especiales de espacios métricos con medida probabilística.
Trabajo en conjunto con: Hugo Aimar (IMAL, CONICET, UNL, CCT CONICET Santa Fe, Argentina) y Ivana Gómez (IMAL, CONICET, UNL, CCT CONICET Santa Fe, Argentina).
Referencias
[1] M. F. Acosta, H. Aimar, I. Gómez, and F. Morana, ``Diffusive metrics induced by random affinities on graphs. An application to the transport systems related to the COVID-19 setting for Buenos Aires (AMBA)'', Trends Comput. Appl. Math. 23 (2022), no. 4, 783–799.
[2] Hugo Aimar, Marilina Carena, Bibiana Iaffei. ``Discrete approximation of spaces of homogeneous type''. J. Geom. Anal.19(2009), no.1, 1–18.
[3] Ronald R Coifman and Stéphane Lafon, ``Diffusion maps'', Applied and Computational Harmonic Analysis 21 (2006), no. 1, 5–30.
[4] Misha Gromov, ``Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces'', Progress in Mathematics, vol. 152, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, Based on the 1981 French original.
[5] Cédric Villani. ``Optimal transport. Old and new.'' Grundlehren Math. Wiss., 338[Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2009.