Sesión AnálisisIFS, subsistemas y conexidad
Mariano Andrés Ferrari
Facultad de Ingeniería, UNPSJB, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Consideremos un sistema de funciones iteradas (IFS) compuesto de similitudes en $\mathbb{R}^{2}$: $I^{1}=\{1,2,\dots,d\}$, $\{\varphi_{i}:i\in I^1\}$, y sea $K$ el conjunto autosemejante asociado: \[ K={\displaystyle \cup_{i\in I^{1}}}\varphi_{i}(K) \,. \] Denotamos por $I^*$ al conjunto de secuencias finitas $\omega_{1}\omega_{2}\omega_{3}\dots\omega_{n}$, $\omega_{j}\in I^{1}$, y sea $I$ el conjunto de sucesiones infinitas. Consideraremos un orden total dado por la longitud, $|\omega| < |\lambda|$, y el orden lexicográfico si $|\omega|=|\lambda|$. Definimos un subsistema $W\subset I$ eliminando las secuencias correspondientes a transformaciones idénticas: \[ W=\{\omega\in I:\varphi_{\omega_1 \omega_2 \dots\omega_n} \neq \varphi_{\lambda_1 \lambda_2 \dots\lambda_m} \, \forall \, \lambda_1 \lambda_2 \dots\lambda_m < \omega_1 \omega_2 \dots\omega_n \} \,. \] Diremos que $W$ es separado, y que $I$ es débilmente separado, si las imágenes $\varphi_{\omega_{1}\dots\omega_{k}}(K)$ no se solapan para secuencias distintas de $W$. Diremos además que $W$ es conexo si existe $T > 0$ tal que dados $\alpha,\beta \in W^*$ existe $|\lambda|\leq T$ tal que $\alpha \lambda \beta \in W^*$.
La dimensión de crecimiento de $I$ se corresponde a la dimensión de similaridad de $W$ y es el único $s$ tal que ${\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}}\bigl(\sum\, r_{\omega_{1}\dots\omega_{k}}^{s}\bigr)^{1/k}=1$. Samebos que si $W$ es separado entonces ${\cal H}^s(K) > 0$ y $s$ es la dimensión de Hausdorff de $K$. Reciprocamente, si $W$ es conexo y ${\cal H}^s(K) > 0$, entonces $W$ es separado.
En esta presentación mostraremos algunos ejemplos de sistemas para los cuales el subsistema $W$ no es conexo. Plantearemos entonces algunas preguntas sobre la existencia de tales subsistemas, sus características, y su relación con la dimensión y la medida de Hausdorff de $K$.