Sesión AnálisisSobre la converencia al dato inicial para el problema del calor en el grupo de Heisenberg.
Isolda Eugenia Cardoso
Universidad Nacional de Rosario, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El n\'ucleo del calor $q_s(z,t)$ para el sublaplaciano $\mathcal{L}$ en el grupo de Heisenberg $\mathbb{H}_n=\mathbb{C}^n \times \mathbb{R}$ tiene una expresi\'on integral $$q_s(z,t) = \frac{1}{2(4\pi s)^{n+1}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{\lambda}{\sinh \lambda} \right)^{n} e^{-\frac{|z|^{2}}{4s} \lambda \coth \lambda } e^{i \lambda \frac{t}{s}} d\lambda,$$que a diferencia del n\'ucleo del calor para el laplaciano eucl\'ideo, en la variable central $t$ no hay decaimiento gaussiano. En el presente trabajo hallamos condiciones de integrabilidad sobre el dato inicial $f$ para la existencia de soluciones al PVI del calor asociado a $\mathcal{L}$ en $\mathbb{H}_n$:
$u_{s}(z,t,s) = -\mathcal{L}u(g,s), \qquad (z,t,s)\in\mathbb{H}_{n}\times (0,S),$
$u(z,t,0) = f(z,t), \qquad (z,t)\in\mathbb{H}_{n}.$
Para esto, utilizamos algunas estimaciones que involucran propiedades geom\'etricas del espacio subyacente, en particular de la estructura subriemanniana de $\mathbb{H}_n$ que acarrea la distancia de Carnot-Caratheodory $d$, para la cual se tiene que $d(z,t)^2\sim |z|^2+|t|$. As\'i, tenemos una estimaci\'on bilateral de $q_s(x,t)$ por una funci\'on $\varphi_{s}(z,t)$ que depende de $d(z,t)$ y de $|z|$ (ver [1],[2]) $$\phi_s(z,t) = \frac{1}{s^{n-1}} e^{-\frac{d(z,t)^2}{4s}}\left(1+\frac{d(z,t)^{2}}{s}\right)^{n-1} \left( 1 + \frac{|z|d(z,t)}{s} \right)^{-n+\frac{1}{2}}.$$A partir de dicha funci\'on obtenemos las condiciones buscadas y adem\'as logramos definir una clase de pesos $D_p(\mathcal{L})$ para los cuales las soluciones existan a.e. cuando el tiempo $s$ se aproxima a cero. Exploramos adem\'as la pregunta natural acerca de la acotaci\'on del operador maximal local asociado. Este tipo de problemas para el caso eucl\'ideo y diferentes operadores ha sido estudiado en [3],[4],[5],[6] y recientemente en espacios m\'as generales: \'arboles homog\'eneos en [7] y en espacios sim\'etricos de tipo no compacto en [8].
Referencias
[1] H-Q Li, Estimations asymptotiques du noyau de la chaleur sur les groupes de Heisenberg. Comptes Rendus Math\'ematique, 751(8):477-544 (2007).
[2] H-Q Li, Y. Zhang, Revisiting the heat kernel on isotropic and nonisotropic Heisenberg groups. Communications in Partial Differential Equations, 44(6):467-503, (2019).
[3] S. Hartzstein, J. L. Torrea, B. Viviani, A note on the convergence to initial data of heat and Poisson equations. Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013), no. 4, 1323–1333.
[4] Abu-Falahah, P. R. Stinga J. L. Torrea, A note on the almost everywhere convergence to initial data for some evolution equations, Potential Anal. 40 (2014), no. 2, 195–202.
[5] G. Garrig\'os, S. Hartzstein, T. Signes, J.L. Torrea, B. Viviani, Pointwise convergence to initial data of heat and Laplace equations, Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016), no. 9, 6575–6600.
[6] I. Cardoso, On the pointwise convergence to initial data of heat and Poisson problems for the Bessel operator, J. Evol. Equ. 17 (2017), no. 3, 953–977.
[7] I. Alvarez-Romero, B. Barrios, J. J. Betancor, Pointwise convergence of the heat and subordinates of the heat semigroups associated with the Laplace operator on homogeneous trees and two weighted Lp maximal inequalities, (Feb 2022) arXiv:2202.11210v1
[8] T. Bruno, E. Papageoriou, Pointwise convergence to initial data for some evolution equations on symmetric spaces, (July 2023), arXiv:2307.09281.