Sesión Análisis Numérico y OptimizaciónAlgoritmos para coarsening en Espacios de Splines
Silvano Carlos Figueroa
Universidad Nacional del Litoral, Facultad de Ingeniería Química, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $[a,b] \subset \mathbb{R}$ y $\Delta= \{ a= \zeta_1, \zeta_2, \ldots, \zeta_N=b\}$ una partición de $[a,b]$. Sean $n$ y $p$ enteros positivos. Denotamos con $\mathcal{S}$ al espacio de dimensión $n$ de funciones splines polinomiales de grado menor o igual que $p$ definido sobre un vector de nodos $\Xi= \{\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n+p+1}\}$ dado por $$\Xi=\{\underbrace{\zeta_1,\dots,\zeta_1,}_{m_1 \text{-veces}}\underbrace{\zeta_2,\dots,\zeta_2,}_{m_2 \text{-veces}}\dots \underbrace{\zeta_{N},\dots,\zeta_{N}}_{m_{N} \text{-veces}}\}.$$ donde $$a= \xi_1= \ldots \xi_{p+1} \leq \xi_{p+2} \leq \ldots \leq \xi_n < \xi_{n+1} = \ldots = \xi_{n+p+1}=b.$$
Dada $s\in \mathcal{S}$ y TOL$ > 0$, se busca un spline $\hat{s} \in \hat{\mathcal{S}}$ tal que
\[ \| s-\hat{s} \| < \textit{TOL} \]
donde $\| \cdot \|$ es una norma en $\mathcal{S}$ y $\hat{\mathcal{S}} \subset \mathcal{S}$. Para ello desarrollamos tres algoritmos, los cuales reciben por entradas el spline $s$ (con su respectivo vector de coeficientes ${\bf c}$), TOL$ > 0$ y $\| \cdot \|_{L^2}$, $\| \cdot\|_{L^\infty}$, $\| \cdot\|_{H^1}$ para cada algoritmo, respectivamente.
La elección de un nodo $\xi_*$ a remover se basa en calcular una serie de indicadores $\{ \varepsilon_j\}$ y luego escoger $j_*$ de tal manera que
\[ \varepsilon_{j_*} = \min_{j}\{ \varepsilon_j\} \]
El cálculo de los indicadores, en cada algoritmo, está fuertemente relacionado con la norma. Por ejemplo, en el caso de $\| \cdot\|_{L^2}$, tenemos que los indicadores se pueden calcular como $$\varepsilon_j= \mathbb{E}_{\Xi,j}(s)= |{\bf r}_{loc}^T {\bf c}_{loc}|$$ donde ${\bf r}_{loc}$ se puede obtener facilmente a partir de unos pocos nodos y ${\bf c}_{loc}$ es un subvector de ${\bf c}$.
Así, cada algoritmo devuelve como salida un vector de nodos $\hat{\Xi}$ con menos nodos y un spline $\hat{s}$ que satisface $\| s-\hat{s} \| < \textit{TOL}$.
Por último se presentan experimentos numéricos en los cuales se analizan diferentes problemas y se observa que la curva de error generada por los algoritmos propuestos se comporta mejor comparada con la de otros algoritmos ya existentes en la bibliografía y que además el gasto computacional de almacenamiento y tiempo es mucho menos costoso.
Trabajo en conjunto con: Eduardo Garau (Universidad Nacional del Litoral, Argentina), Pedro Morin (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).