Sesión Ecuaciones Diferenciales y ProbabilidadAnálisis de la existencia y naturaleza de soluciones periódicas para la ecuación de un péndulo no Newtoniano.
Stefania Demaria
Universidad Nacional Rio Cuarto, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Consideramos resolver el problema \begin{equation}\label{problemaPendulo} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{d}{dt}(\phi'(x'))=f(t,x,e) -sen(x)\\ x(0)=x(T) \quad x'(0)=x'(T), \end{array}\right. \end{equation} donde $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una N-función, y particularmente trabajaremos con una función $f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times[0,\infty)\to \mathbb{R}$ la cual es medible, T-periódica y par respecto de la primera variable, y cumple $f(t,x,e)x\geq 0$ y $f(t,x,0)=0$.
Para $e=0$ obtenemos una ecuación del tipo del péndulo relativista, esta última ecuación ha sido estudiada en diversos artículos [1,3,4,5].
Se trabajó con la formulación hamiltoniana del problema y para el caso $e=0$ se estudiaron condiciones donde hay existencia de soluciones pero no unicidad. Además para las condiciónes iniciales $x(0)=\xi$ donde encontramos existencia y unicidad se estudió el periodo como función de la amplitud inicial y utilizando el teorema de continuación global de Leray-Schauder [2], se mostró que ciertas soluciones $T$-periodicas se continuan para valores de $e$ positivos.
Dado que el problema (1) tiene una estructura variacional lagrangiana, usando métodos numéricos para ciertas funciones $f$ particulares, se buscaron soluciones $T$-periodicas y se analizó si ellas eran punto silla, máximos o mínimos del funcional integral asociado.
Trabajo en conjunto con: Fernando Mazzone. (Universidad Nacional de Río Cuarto, Argentina).
Referencias
[1] [Brezis et~al., 2010] Brezis, H., Mawhin, J., et~al. (2010). Periodic solutions of the forced relativistic pendulum. Differential and Integral Equations, 23(9/10):801--810.
[2] Llibre and Ortega, 2008] Llibre, J. and Ortega, R. (2008). On the families of periodic orbits of the sitnikov problem. SIAM J. Applied Dynamical Systems, 7:561--576.
[3] [Maro, 2013] Maro, S. (2013). Periodic solutions of a forced relativistic pendulum via twist dynamics. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 42(1):51--75.
[4] [Mawhin, 2010] Mawhin, J. (2010). Periodic solutions of the forced pendulum: Classical vs relativistic. Le Matematiche, 65.
[5] [Torres, 2008] Torres, P.~J. (2008). Periodic oscillations of the relativistic pendulum with friction. Physics Letters A, 372(42):6386--6387.