Sesión Análisis

Descomposición atómica para el espacio de Hajlasz de funciones con gradiente generalizado en $L^1$.

Ricardo Durán

UBA - CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Dada $f\in L^p(\mathbb R^n)$, $1\le p \le \infty$, consideramos la condición introducida por Hajlasz [1], \[ |f(x)-f(y)|\le (g(x)+g(y)) |x-y| \] con $g\in L^p(\mathbb R^n)$, y llamamos $D(f)$ al conjunto de todas las funciones $g\in L^p(\mathbb R^n)$ que cumplen esta desigualdad. Siguiendo a Hajlasz definimos \[ M^{1,p}=\{f\in L^p(\mathbb R^n)\colon \exists g \in D(f) \} \] el cual es un espacio de Banach con la norma dada por \[ \|f\|_p + \|f\|_{\dot M^{1,p}} \] donde $\|f\|_{\dot M^{1,p}}:=\inf_{g\in D(f)} \|g\|_p$.

Es sabido que para $p > 1$ vale que $M^{1,p}$ coincide con el el espacio de Sobolev clásico $W^{1,p}$. La situación es diferente cuando $p=1$. En este caso se sabe que $M^{1,1}=H^{1,1}$ siendo éste el espacio de Hardy-Sobolev de funciones de $L^1(\mathbb R^n)$ con derivadas primeras en el espacio de Hardy $H^1(\mathbb R^n)$.

El objetivo de esta charla es mostrar que las técnicas introducidas por Macías y Segovia en [2] pueden aplicarse para obtener una descomposición atómica para funciones de $M^{1,1}$. Decimos que una función $a$ es un átomo si tiene soporte contenido en una bola $B$ y es Lipschitz con constante acotada por $1/|B|$. Demostramos que si $f\in M^{1,1}$ existen una sucesión de átomos $a_j$ y una sucesión numérica $\mu_j$ tales que \[ f=\sum_j \mu_j a_j \] con convergencia en $\dot M^{1,1}$ y tal que \[ \sum_j |\mu_j| \le C \|f\|_{\dot M^{1,1}} \] De esta descomposición resultan inmediatamente demostraciones alternativas de la igualdad $M^{1,1}=H^{1,1}$ y de la equivalencia entre $\|f\|_{\dot M^{1,1}}$ y $\|Nf\|_1$ siendo $Nf$ la maximal de Calder\'on.

Referencias

[1] P. Hajlasz, Sobolev spaces on an arbitrary metric space, Potential Anal. 5 (1996), 403-415.

[2] R. A. Mac\'ias and C. Segovia, A decomposition into atoms of distributions on spaces of homogeneous type, Advances in Math. 33 (1977), 271-309.

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