Sesión Análisis Numérico y OptimizaciónEstimación dinámica de demanda de transporte mediante la solución de un problema binivel en dimensión infinita con solución única
Nicolás Jares
CIEM-CONICET FAMAF-UNC, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Si representamos una red de transporte como un grafo dirigido $G = (N,A)$ y consideramos un horizonte de planificación $T = [t_0, t_f] \subset \mathbb{R}$, podemos suponer que se conoce el volumen de tráfico y expresarlo como un conjunto de funciones $x_0^{(a)}(t) : T \to \mathbb{R}_{\geq 0}$, para cada $a \in A$. Luego podemos llamar $x_0 = (x_0^{(a)})_{a \in A}$ al vector que contiene todas esas funciones.
A partir de esa información, podemos escribir el problema de estimar la demanda dinámica de transporte como un problema binivel de la forma:
\[ \begin{array}{cl} \text{minimizar} & \rVert x_0 - X(h) \lVert_2^2 + \lVert d \rVert_1 \\ ^{ h \in H, d \in D} & \\ \text{sujeto a} & (A(h), h - v)_H \leq 0, \; \forall v \in \Lambda_d \end{array} \]
Aquí $h = (h_r)_{r \in \mathcal{R}}$ es un vector de flujo por rutas, $d = (d_w)_{w \in W}$ es el vector de demandas, y $H$ y $D$ son espacios de Hilbert adecuados. El operador $X: H \to L^2([t_0, t_f])^{|A|}$ devuelve los flujos por arco a partir de los flujos por rutas y el operador $A: H \to H$ es el operador de retraso (el tiempo necesario para recorrer cada ruta). La restricción del problema es una desigualdad variacional con el producto interno usual de $H$, $(\cdot,\cdot)_H$ y el conjunto $\Lambda_d \subset H$ es el conjunto de flujos por ruta factibles, que satisfacen la demanda $d$. Esta desigualdad variacional resuelve el problema del equilibrio dinámico del usuario [1].
Bajo ciertas hipótesis podemos ver que este es un problema binivel simple, que su función objetivo es fuertemente convexa y que se pueden generalizar métodos del estado del arte para problemas binivel de dimensión finita [2] a este problema para obtener un algoritmo que converge a su solución.
Trabajo en conjunto con: Damian Fernandez Ferreyra (CIEM-CONICET FAMAF-UNC) y Lisandro Parente (CIFASIS-CONICET FCEIA-UNR).
Referencias
[1] Daoli Zhu, Patrice Marcotte, On the Existence of Solutions to the Dynamic User Equilibrium Problem, Transportation Science, 2000, 34(4):402-414
[2] Yekini Shehu, Phan Tu Vuong and Alain Zemkoho, An inertial extrapolation method for convex simple bilevel optimization, Optimization Methods and Software, 2021, 36:1, 1-19