Sesión Ecuaciones Diferenciales y ProbabilidadTrayectorias entre dos imágenes según la métrica de Fisher-Rao
Anibal Leonardo Chicco Ruiz
Facultad de Ingeniería Química - Universidad Nacional del Litoral , Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La información de Fisher (ver [1]) es una medida de la cantidad de información sobre un parámetro desconocido que se puede extraer de una muestra aleatoria. La métrica de Fisher-Rao se utiliza para medir la distancia entre dos distribuciones de probabilidad, y las geodésicas en esta métrica son las trayectorias que minimizan dicha distancia (ver [2]).
Podemos considerar una imagen como una función no negativa $f$ definida en el cuadrado $Q=[0,1]\times [0,1]$ tal que $\iint_Q f=1$ y un ``pixelado'' de $f$ de nivel $j\in \mathbb{N}$ por la medida de probabilidad \[\mu^j=\sum_{k\in\mathcal{K}(j)} \left(\int_{Q_k^j} f\right)\delta_{x^j_k},\] donde $\{Q_k^j:k\in\mathcal{K}(j)\}$ es una partición diádica de $Q$ y $\delta_{x^j_k}$ la Delta de Dirac en un punto del cuadrado $Q_k^j$.
Al interpretar la geodésica de Fisher-Rao entre dos imágenes, se puede observar cómo los patrones de la distribución de probabilidades de los píxeles en la imagen A evolucionan gradualmente hacia los de la imagen B a medida que nos movemos a lo largo de la trayectoria.
En esta comunicación introduciremos la métrica de Fisher-Rao-Riemann, determinaremos las ecuaciones diferenciales que determinan las geodésicas y mostraremos resultados obtenidos mediante métodos numéricos. Interpretaremos estos resultados en términos de transporte de imágenes y analizaremos las trayectorias obtenidas.
Trabajo en conjunto con: Hugo Aimar (Instituto de Matemática Aplicada del Litoral, Santa Fe). y Ivana Gómez (Instituto de Matemática Aplicada del Litoral, Santa Fe)..
Referencias
[1] Cover, Thomas - Elements of Information Theory, (Wiley, 2006)
[2] Peter, Rangarajan - Information Geometry for Landmark Shape Analysis: Unifying Shape Representation and Deformation, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence (2009).