Sesión Análisis

Unicidad de Mejores Aproximantes en Espacios de Orlicz

Juan Costa Ponce

IMASL-UNSL-CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Sea $(\Omega, \mathcal{A},\mu)$ un espacio de medida y sea $\mathcal{M}=\mathcal{M}(\Omega,\mathcal{A}, \mu)$ el conjunto de todas las clases $\mu$-equivalentes de funciones $\mathcal{A}$-medibles en un conjunto cerrado y acotado $\Omega\subset\mathbb{R}$.

Sea $\Phi:[0,\infty) \to [0,\infty)$ una función convexa tal que $\Phi(0)=0$, $\Phi(t) > 0$ si $t > 0$.

Adicionalmente, se supondrá que la función $\Phi$ cumple con la condición $\Delta_2$, es decir que exista una constante $K$ tal que para todo $x$ en el dominio de $\Phi$, vale $\Phi(2x)\leq K \Phi(x)$.

Entonces $$L^{\Phi}(\Omega):=\Bigl\{f\in \mathcal{M}:\int_{\Omega} \Phi(|f|)d\mu < \infty \Bigr\}$$ es un espacio de Orlicz.

Dado un conjunto $S\subset L^{\Phi}(\Omega)$, un elemento $s^{\ast}\in S$ es llamado una mejor $\Phi$-aproximación de $f\in L^{\Phi}(\Omega)$ de la clase aproximante $S$, si y s\'olo si

$$\int_{\Omega}\Phi(|f-s^{\ast}|)d\mu=\inf_{s\in S}\int_{\Omega}\Phi(|f-s|)d\mu$$

En [1] se demostró que basta pedir que $\Phi$ sea continua por izquierda y que la clase aproximante $S\subset L^{\infty}(\Omega)$ sea un subespacio de dimensión finita, para que cualquier $f\in L^{\Phi}$ tenga al menos un mejor aproximante $s^{\ast}\in S$.

La unicidad del mejor aproximante es un problema que ha sido extensamente estudiado en [3],[4],[5] y particularmente en [2] se desarrolla un panorama general sobre el estado de la cuestión.

Se plantea un problema geométrico al considerar $\Phi$ convexa pero no estrictamente convexa. Luego se prueba la unicidad para clases aproximantes muy generales y se extienden resultados al espacio $L^{\Phi}$ algunos hechos conocidos en $L^1$ y presentados en [3] y [2].

Finalmente, se discuten algunos interrogantes abiertos.

Trabajo en conjunto con: Dr. Sergio Favier (IMASL-UNSL-CONICET).

Referencias

[1] A. Benavente, S. Favier, F. Levis, Existence and Characterizations of best $\phi$-Approximations by Linear Subspaces, De Gruyter Adv. Pure Appl. Math (2017).

[2] Cheney, E. W., & Wulbert, D. E. (1969). The Existence and Unicity of Best Approximations. MATHEMATICA SCANDINAVICA, 24, 113–140. https://doi.org/10.7146/math.scand.a-10925

[3] J. R. Rice, The Approximation of Functions, vol. I. Addison-Esley Pub. Co. (1964).

[4] L. L. Schumaker, Spline Functions, Basic Theory, Cambridge University Press (2007).

[5] A. Pinkus, On $L^1$ Approximation, Cambridge University Press (1989).

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