Sesión Análisis

Pesos $C_{p}$ locales y conjuntos homogéneos localmente

Federico Augusto Campos

IMAL, UNL-CONICET, Santa Fe, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

En esta presentación, consideraremos un espacio métrico $(X,d)$ con la propiedad de homogeneidad débil y un abierto propio $\Omega \subset X$ tal que las bolas contenidas en él son conjuntos conexos. Para cada $\beta \in (0,1)$, se tomará la familia de bolas $\mathcal{F}_{\beta }=\{B(x,r):x\in \Omega ,r \in (0,\beta d(x,\Omega ^{c})]\}$. Además, $\Omega $ estará provisto de una medida de Borel $\mu $ que duplica sobre alguna familia $\mathcal{F} _{\beta }$. Ahora, si $f\in L_{loc}^{1}\left( \Omega \right) $, se define la función maximal $\beta $-local de $f$ con respecto a $\mu $ como $$ \mathcal{M}_{\beta }f\left( x\right) =\sup_{B\in \mathcal{F}_{\beta }:x\in B} \frac{1}{\mu \left( B\right) }\int_{B}|f|d\mu .$$ Se dirá que $w\geq 0$ en c. t. p. de $\Omega $ es un peso $\mathcal{C}_{p}^{\beta }$, con $p \in (0, \infty )$, si existen constantes positivas $C,\theta $ tales que, para cualesquiera $B\in \mathcal{F}_{\beta }$ y $E\subset B$ medible, se tiene $$\int_{E}w\ d\mu \leq C\left( \frac{\mu \left( E\right) }{\mu \left( B\right) }\right) ^{\theta }\int_{\Omega }\left( \mathcal{M}_{\beta }\chi _{B}\right) ^{p}w\ d\mu \ .$$ También, para $f\in L_{loc}^{1}\left( \Omega \right) $, definimos la función maximal sharp $\beta $-local de $f$ con respecto a $\mu $ como $$ \mathcal{M}_{\beta }^{\#}f\left( x\right) =\sup \limits_{B \in \mathcal{F}_{\beta /2}: x \in B }\frac{1}{ \mu \left( B\right) }\int_{B}|f-f_{B}|d\mu +\sup \limits_{B \in \mathcal{F}- \mathcal{F}_{\beta /2}: x \in B }\frac{1}{\mu ( B) }\int_{B }|f|d\mu \ .$$ En reuniones anteriores de la UMA mostramos que, bajo la suposición de que el espacio métrico $\left( X,d\right) $ tiene la propiedad de que para ciertas intersecciones de bolas hay una dilatación de una bola dentro de la intersección que contiene a una de ellas (lo cual $\mathbb{R}^{n}$ lo verifica) y que con la medida $\mu $ hay diferenciación de Lebesgue en $\Omega $, dados $q \in (1, \infty)$, $p \in (1, q) $, $\beta \in ( 0,1) $, existen $\gamma \in (0, \beta )$ y $\gamma ^{\prime } \in (0, \gamma )$ tales que, si $w\in \mathcal{C}_{q}^{\gamma }$, hay una constante $ C$ tal que $$ \int_{\Omega }\left( \mathcal{M}_{\gamma ^{\prime }}f\right) ^{p}w\ d\mu \leq C\int_{\Omega }\left( \mathcal{M}_{\beta }^{\#}f\right) ^{p}w\ d\mu$$ para cualquier $f\in L^{\infty }(\Omega ,\mu )$\ con soporte en una bola de $\mathcal{F}_{\gamma ^{\prime }}$. También se ha mostrado en presentaciones previas que la desigualdad anterior es una condición suficiente para que un peso esté en la clase $\mathcal{C}_{p}^{\beta }$.

Como en [1] y [2], consideramos las siguientes clases de Muckenhoupt locales.

Definición 1: Sea $w\in L_{loc}^{1}(\Omega )$ no-negativo en c. t. p. de $\Omega $ y $p \in (1, \infty )$. Diremos que $w$ es un peso en $A_{p}^{\beta }$ si hay una constante $C$ tal que, para toda $B\in \mathcal{F}_{\beta }$, $$\left( \frac{1}{\mu (B)} \int_{B}w\ d\mu \right) \left( \frac{1}{\mu (B)}\int_{B}w^{\frac{-1}{p-1}% }d\mu \right) ^{p-1} \leq C \ .$$ Para $p=1$, diremos que $w$ es un peso en $A_{1}^{\beta }$ si hay una constante $C$ tal que, para toda $B\in \mathcal{F}_{\beta }$, $$\left( \frac{1}{\mu (B)} \int_{B}w\ d\mu \right) \left( \inf_{x\in B}w\left( x\right) \right) ^{-1}\leq C \ ,$$ donde el ínfimo se toma en c. t. p. de $B$. Para $p=\infty$, se definirá entonces $$A_{\infty }^{\beta }=\bigcup\limits_{ q \in [1, \infty) }A_{q}^{\beta }.$$

Ahora, En [3], dado $A\subset \mathbb{R}$ medible (Lebesgue), se dice que $A$ es homogéneo si hay una constante $\sigma \in (0,1]$ tal que \begin{equation*} |A\cap (x-r,x+r)|\geq \sigma r \ , \end{equation*} para todo $r \in (0, \infty)$ y c. t. p. $x\in A$. En tal artí­culo se ve que la condición $\mathcal{C}_{p}$ (en $\mathbb{R}$) caracteriza (en un cierto sentido) a los conjuntos homogéneos. Nuestro objetivo será obtener una caracterización análoga para la clase $\mathcal{C}_{p}^{\beta }$. Con este fin damos la siguiente definición.

Definición 2: Sea $A\subset \Omega $. Diremos que $A$ es homogéneo localmente (con respecto a la medida $\mu $) si, dado $ \beta \in (0, 1)$, hay un $\sigma _{\beta }\in (0,1]$ tal que $$\mu \left( A\cap B\left( x,r\right) \right) \geq \sigma _{\beta }\mu \left( B\left( x,r\right) \right) \ ,$$ para c. t. p. $x\in A$ y todo $r\in (0,\beta \rho (x)]$.

Para obtener nuestros resultados, pedimos además que para la medida $\mu $ existan constantes positivas $C$, $\theta $ y $ \theta^{\prime}$ (que pueden depender de $\beta $) tales que, para todos $ t\geq 1$ y $ B\in \mathcal{F}_{\beta /t}$, \begin{equation}\label{ordenDupli} C^{-1} t^{\theta^{ \prime}}\mu ( B) \leq \mu (t B) \leq C t^{\theta} \mu (B) \text{.} \end{equation} Ahora, enunciamos nuestro primer resultado.

Teorema 1: Sean $w\in A_{\infty }^{\beta }$ y $A\subset \Omega $ para el cual hay un $\widetilde{A}\subset A$ tal que $\mu \left( \widetilde{A}\right) =0$ y $A-\widetilde{A}$ es homogéneo localmente con respecto a $\mu $. Entonces, $w\chi _{A}\in \mathcal{C}_{p}^{\beta }$ para todo $p \in (0, \infty)$.

También, por los resultados en [2] podemos deducir que, si $w \in A_{\infty }^{\beta}$ y $ \nu$ es la medida inducida por $w$ con respecto a $\mu$ ($d \nu = w\ d\mu$) entonces $w^{-1} \in A_{\infty }^{\beta}$ con respecto a la medida $\nu$ y existen constantes $C\geq 1$ y $\varepsilon \in (0,1)$ tales que, para cualesquiera $B\in \mathcal{F}_{\beta }$ y $E\subset B$ medible, se tiene $$ \int_{E}w^{-1}\ d\nu \leq C\left( \frac{\nu \left( E\right) }{\nu \left( B\right) }\right) ^{\varepsilon }\int_{B} w^{-1}\ d\nu \ .$$ Así, con esta observación obtendremos el siguiente recí­proco parcial del Teorema 1.

Teorema 2: Sean $\beta \in (0,1)$ y $w\in A_{\infty }^{\beta }$. Entonces, hay un $\beta ^{\prime} \in (0, \beta)$ tal que, para todo $\alpha \in (0, \beta ^{\prime}]$, si $\theta _{w}$ y $\theta _{w}^{\prime }$ son exponentes que verifican (\ref{ordenDupli}) sobre $\mathcal{F}_{\alpha }$ con la medida $\nu$ y $w\chi _{A}\in \mathcal{C}_{p}^{\alpha }$ para algún $p \in ( \theta _{w}\left( \theta _{w}^{\prime }\varepsilon \right) ^{-1}, \infty)$, existe un $\widetilde{A}\subset A$ tal que $\mu \left( \widetilde{A}\right) =0$ y $A-\widetilde{A}$ es homogéneo localmente con respecto a $\mu $.

Finalmente, veremos también que cierta condición adicional sobre un peso en $\mathcal{C}_{p}^{\beta }$ implica que esté en $A_{\infty}^{\beta}$.

Trabajo en conjunto con: Oscar Salinas (IMAL, UNL-CONICET, Santa Fe, Argentina) y Beatriz Viviani (IMAL, UNL-CONICET, Santa Fe, Argentina).

Referencias

[1] Harboure, Eleonor, Oscar Salinas, and Beatriz Viviani. Local maximal function and weights in a general setting. Mathematische Annalen 358, 3-4 (2014): 609-628.

[2] Campos, Federico Augusto and Salinas, Oscar Mario and Viviani, Beatriz Eleonora. Characterizations of local $A_{\infty}$ weights and applications to local singular integrals. To appear in in Revista de la Unión Matemática Argentina en Homenaje a Eleonor Harboure, (2023).

[3] Kahanpää, L., and L. Mejlbro. Some new results on the Muckenhoupt conjecture concerning weighted norm inequalities connecting the Hilbert transform with the maximal function. Danmarks Tekniske Hojskole. Matematisk Institut, 1983.

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