Sesión AnálisisEnfoque Sparse para la acotación de la Maximal Fraccionaria local con dos pesos.
Juan Manuel Sotto Ríos
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral , Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Para un conjunto $\Omega \subsetneq \mathbb{R}^n$ abierto y no vacío y $\beta \in (0,1)$, consideramos la familia de cubos $\mathcal{F}_\beta=\{Q(x,l): l < \beta\,d(x,\Omega^c)\}$, donde $d$ es la métrica $d_\infty$. En este trabajo estudiamos desigualdades con dos pesos de la Maximal fraccionaria local $M_\beta^\gamma$, con $0 \leq \gamma < 1$, definido para $f \in L^1_{\textrm{loc}}(\Omega)$ como: \[ M_\beta^\gamma f(x) = \sup_{Q \in \mathcal{F}_\beta} |Q|^{\gamma-1}\int_Q |f(y)|dy \hspace{0.1cm} \chi_{_Q}(x) \,, \] para cada $x \in \Omega$. % Para esto, tomamos un par de pesos $(u,v)$ en la clase $A^{\tau, \gamma}_{p,q,\varphi}$, con $ 1 < $ $p \leq q < \infty $, $ \tau \in (0,1) $, definida por la condición: \[ \sup_{Q \in \mathcal{F}_\tau} |Q|^{\gamma+\frac{1}{q}-\frac{1}{p}} \left( \frac{1}{|Q|} \int_Q u \right)^q \left\Vert{v^{-\frac{1}{p}}}\right\Vert_{\varphi,Q} < \infty\,, \] donde en uno de los pesos se considera una norma promedio de Luxemburgo con respecto a una función de Young $\varphi$, cuya conjugada, $\overline{\varphi}$, cumple la condición $B_p$, ver [1]. Con esto, pudimos probar el siguiente \textbf{Teorema.} Sean $ 1 < $ $p \leq q < \infty $, $ 0 < \tau < 1 $ y $ 0 \leq \gamma < 1 $. Para $\varphi$ una función de Young tal que $\overline{\varphi} \in B_p$ consideremos un par de pesos $(u,v) \in A^{\tau, \gamma}_{p,q,\varphi}$. Entonces, para cada $\beta \in (0,\tau)$ se tiene: \[ M_\beta^\gamma : L^p(\Omega,v) \to L^q(\Omega,u)\,. \]
En la demostración del teorema se utiliza una técnica con operadores de tipo Sparse similares a las que aparecen en [1]. Por otro lado, mejora en cierto sentido el resultado análogo para el caso $\gamma = 0$ visto en [2].
Trabajo en conjunto con: Mauricio Ramseyer (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL)) y Oscar Salinas (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL)).
Referencias
[1] David Cruz-Uribe. Two weight inequalities for fractional integral operators and commutators. In {\em Advanced courses of mathematical analysis {VI}}, pages 25--85. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2017.
[2] Mauricio Ramseyer, Oscar Salinas, and Beatriz Viviani. Two-weight norm inequalities for the local maximal function. {\em J. Geom. Anal.}, 27(1):120--141, 2017.