Sesión AnálisisDesigualdades de Marcinkiewicz-Zygmund en espacios de Lebesgue con exponente variable.
Marcos Bonich
IMAS-Universidad de Buenos Aires, CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Dados $1\leq p, q, r \leq \infty$, se dice que la 3-upla $(p,q,r)$ satisface una desigualdad de Marcinkiewicz-Zygmund si existe una constante $C\geq 1$ tal que para cualesquiera espacios de medida $(U,\mu)$ y $(V,\nu)$ y para todo operador lineal acotado $T:L^q(U,\mu)\to L^p(V,\nu)$ se tiene
\[ \left\|\left(\sum_{k=1}^n\left|Tf_k\right|^r\right)^{1/r}\right\|_{L^p(V,\nu)} \leq C\left\|T\right\| \left\|\left(\sum_{k=1}^n\left|f_k\right|^r\right)^{1/r}\right\|_{L^q(U,\mu)}, \]
para toda sucesión $f_1,f_2,\dots,f_n\in L^q(U,\mu)$ y cada $n\in \mathbb{N}$. Este tipo de desigualdades vectoriales comenzaron a estudiarse en los años `30, a partir de trabajos de Bochner, Marcinkiewicz, Paley y Zygmund (ver, por ejemplo, [4]). En esta charla discutiremos la extensión de estas desigualdades al contexto de espacios de Lebesgue con exponente variable, una generalización de los espacios $L^p$ clásicos que ha cobrado gran relevancia en los últimos años debido a sus aplicaciones en distintos campos (ver [2, 3]). Mostraremos que, bajo ciertas condiciones sobre los exponentes $p(\cdot)$ y $q(\cdot)$, podemos caracterizar los valores $1\leq r\leq \infty$ tales que todo operador $T\colon L^{q(\cdot)}(V,\nu)\to L^{p(\cdot)}(U, \mu)$ verifica una desigualdad del tipo Marcinkiewicz-Zygmund. Presentaremos, además, algunas aplicaciones de estas desigualdades vectoriales. Estos resultados forman parte del trabajo [1], en colaboración con Daniel Carando y Martín Mazzitelli.
Trabajo en conjunto con: Daniel Carando (Universidad de Buenos Aires, IMAS (UBA-CONICET)) y Martín Mazzitelli (Instituto Balseiro, CNEA-UNCUYO, CONICET).
Referencias
[1] Bonich M., Carando D. and Mazzitelli M.. Marcinkiewicz-Zygmund inequalities in variable Lebesgue spaces. (enviado para publicación)
[2] Cruz-Uribe D., Fiorenza A.. Variable Lebesgue spaces: Foundations and Harmonic Analysis. Birkhäuser, Spinger, Basel, 2013.
[3] Diening L., Harjulehto P., Peter Hästö P. and Růžička M.. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents. Springer. 29-3-2011.
[4] Marcinkiewicz J. and Zygmund A.. Quelques inégalités pour les opérations linéaires. Fund. Math., 32: 113–121, 1939.