Sesión Ecuaciones Diferenciales y ProbabilidadResolución de una ecuación no lineal de Volterra en $L^{2}$ con técnicas de problema inverso de momentos
María Beatriz Pintarelli
Dep.de Matemática, Fac. de Ciencias Exactas, UNLP- Dep. Ciencias Básicas, Fac. Ingeniería, UNLP, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El problema consiste en encontrar $y(x)$ en la ecuación \[y(x)+\int_{0}^{x}\psi(x,s,y(s))ds=g(x)\: x \geq 0\]
donde $ y(x) $ es la función desconocida y las funciones $ g(x) $ y $ \psi(x,s,y) $ son conocidas. Además $ \psi\epsilon[0,\infty)\times [0,\infty)\times R $.
También $ y $ ,$ g $ , y $ \psi $ son 2 veces continuamente diferenciables con respecto a $ x $.\\ El espacio subyacente es $ L^{2}[0,\infty) $.\\
Es posible resolver numéricamente el problema usando las técnicas de problema inverso de momentos generalizados.\\ Se aproxima $y(x)$ en dos pasos:\\ Primero diferenciamos la ecuación integral con respecto a $ x $ y anotamos $ h(t) = (t(T-t))^{2} $ con $ 0 \leq t \leq T $
Entonces
\[((y(x)-g(x))h(t))_{x}= -\left(\int_{0}^{x}\psi_{x}(x,s,y(s))ds+\psi(x,x,y(x)) \right)h(t)=G1(x,t) \]
Escribimos $ w(x,t)=(y(x)-g(x))h(t) $ definida en $ D={(x,t); 0 \leq x < \infty; 0 \leq t \leq T} $.\\
Consideramos la ecuación
\[w_{xx}(x,t)- w_{tt}(x,t)=G1(x,t)_{x}- w_{tt}(x,t)=H(x,t)\]
y la llevamos a una ecuación integral la cual se resuelve numéricamente y se encuentra una solución $ p_{1n}(x,t) $ para $ H(x,t) $.\\
Finalmente consideramos $w_{xx}(x,t)-w_{tt}(x,t)=p_{1n}(x,t)$ y la llevamos a una ecuación integral
\[\iint_{D}(y(x)-g(x))e^{-mx}dA=\dfrac{1}{\int_{0}^{T}h(t)dt}\left( \dfrac{-G(m,0)+\iint_{D}up_{1n}(x,t)dA}{m^{2}}\right) \] Esta ecuación integral se resuelve numéricamente y entonces $ p_{2n}(x) $ es una solución aproximada para $ y(x)-g(x) $. Es decir $ y(x)\approx g(x)+ p_{2n}(x) $ . \\ Se encuentra una cota para el error de la solución estimada y se ilustra el método con ejemplos.