Sesión AnálisisPolitopos aleatorios y razón de volumen
Mariano Merzbacher
Universidad de Buenos Aires, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La \emph{razón de volumen} del par de cuerpos convexos $K$ y $L$ de $\mathbb{R}^n$ se define como $$ \operatorname{vr}(K,L):= \inf \left\{ \left(\frac{|K|}{|T(L)|}\right)^{\frac{1}{n}} : T(L) \mbox{ está contenido en } K \right\}, $$ dónde el ínfimo (en realidad un mínimo) es tomado sobre todas las transformaciones afines $T$. Esta cantidad resulta un invariante afín que permite medir cuán bien puede aproximarse volumétricamente un cuerpo dado por una imagen afín de otro. Definimos la \emph{máxima razón de volumen} de un cuerpo convexo $K \subset \mathbb{R}^n$ como $\operatorname{lvr}(K):= \sup_{L \subset \mathbb{R}^n} \operatorname{vr}(K,L)$, donde el supremo se toma sobre todos los cuerpos convexos $L$. Mostraremos cómo aplicar el método probabilístico y algunas estimaciones de volumen de politopos para probar la siguiente cota que resulta ajustada en general: $c \sqrt{n} \leq \operatorname{lvr}(K),$ para \emph{todo} cuerpo $K$ (donde $c > 0$ es una constante absoluta). Este resultado mejora la cota anteriormente conocida que es del orden de $\sqrt{\frac{n}{\log \log(n)}}.$ Problemas similares pueden plantearse considerando la razón de volumen entre proyecciones o secciones de dos cuerpos convexos. Contaremos algunos resultados recientes que obtuvimos al respecto.
Trabajo en conjunto con: Daniel Galicer (Universidad de Buenos Aires, Argentina), Alexander Litvak (University of Alberta, Canada) y Damián Pinasco (Universidad T. Di Tella, Argentina).