Sesión AnálisisDesigualdades pesadas para operadores de tipo Schrödinger
Gabriela Rocío Lezama
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral Dra. Eleonor Harboure (UNL-CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $\mu$ una medida de Radón no negativa en $\mathbb{R}^d$, con $d\geq 3$ que satisface que existen constantes $\delta_\mu, C_\mu, D_\mu > 0$ tales que $$ \mu(B(x,r)) \leq C_{\mu}\left(\frac{r}{R}\right)^{d-2+\delta_\mu} \mu\left( B(x,R)\right) \quad \text{ y } \quad \mu(B(x,2r)) \leq D_\mu\left(\mu(B(x,r))+r^{d-2}\right),$$ para todo $x \in \mathbb{R}^d$ y $0$ $ < $ $r$ $ < $ $R$ y la función de radio crítico definida por \[ \rho_{\mu(x)}=\sup \left\{r > 0 :\frac{\mu(B(x,r))}{r^{d-2}}\leq 1\right\}. \]
A través de $\rho_\mu$ podemos definir la correspondiente distancia Agmon \[d_\mu (x,y)= {inf}_{\gamma}\int_0^1\rho(\gamma(t))^{-1}| \gamma'(t)| dt, \] donde el ínfimo se toma sobre todas las curvas $\gamma:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^d$ que conectan los puntos $x,y \in \mathbb{R}^d$; y las bolas $B_{\mu}(x,r) =\{y \in \mathbb{R} ^d : d_\mu(x,y) $ $ < $ $ r \}.$
En este trabajo consideramos operadores integrales lineales con núcleo asociado $K$, de la forma \[ Tf(x)=\int_{\mathbb{R}^d}K\left(x,y\right)f\left(y\right) dy, \] con las siguientes condiciones de tamaño y suavidad \[\: \; \qquad | K\left(x,y\right) | \leq \frac{e^{-\epsilon d_{\mu} \left(x,y\right)}}{| x-y | ^{d-1}}\left( \int _{B\left(y,\frac{| x-y|}{2}\right)} \frac{d_\mu \left(z\right)}{| y-z |^{d-1}} + \frac{1}{| x-y |}\right) \qquad \mbox{ para todo } x, y \in \mathbb{R}^d \mbox{ con } x\neq y \] \[ | K(x,y)-K(x,z) | +| K(x,y)-K(z,x)|\leq C\frac{| y-z|^\delta }{| x-y|^{d+\delta} } \qquad \mbox{ cuando }| x-y| > 2\, | y-z |.\] Un caso particular de estos operadores son las trasformadas de Riesz asociadas al operador de Schrôdinger generalizado $\mathcal{L}_\mu=-\Delta + \mu.$
Se obtuvo un teorema de criterio $T1$ para establecer la continuidad de un operador $T$ como antes en espacios $BMO^\alpha_\rho(w)$, donde $w$ es un peso en la clase $\mathcal{H}^{\rho,m}_{p,c}$ definida en [2], la cual extiende a la familia de pesos $A^\rho_p $ definida en [1].
Trabajo en conjunto con: TOSCHI Marisa (IMAL (UNL-CONICET); FHUC (UNL);
Referencias
[1] B. Bongioanni, E. Harboure, and P. Quijano, Weigthed inequalities for Schrödinger type singular integrals , J. Fourier. Anal. Appl., 25 (2019), no. 3, 595–632.
[2] Bailey, Julian. Weights of exponential growth and decay for Schrödinger-type operators. J. Funct. Anal. 281 (2021), no. 1, 108996, 93 pp. MR4234858