Sesión Análisis

Espacios de Musielak-Orlicz y continuidad del operador integral fraccionaria.

René Morari

Universidad Nacional del Comahue, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

En este trabajo, estudiamos el comportamiento del operador integral fraccionaria $I_\alpha$, con $0$ $ < $ $\alpha$ $ < $ $n$ actuando sobre espacios de Musielak-Orlicz, [1]. Estos espacios, denotados por $ L^\Psi(\mathbb{R}^n) $ están definidos como el conjunto de todas las funciones $f$ medibles para las cuales existe $ \lambda > 0 $ tal que \[ \int_{\mathbb{R}^n} \Psi(x,|f(x)|/\lambda)\,dx < \infty\,, \] donde $ \Psi:\mathbb{R}^n \times [0,\infty] \to [0,\infty] $ satisface que $ \Psi(\cdot,t) $ es medible para todo $ t \geq 0$ y para cada $ x \in \mathbb{R}^n $ la función $ \Psi(x,\cdot) $ es convexa, continua por izquierda y cumple que $ \Psi(x,0) = 0 $, $ \lim_{t \to 0^+}\Psi(x,t) = 0 $ y $ \lim_{t \to \infty}\Psi(x,t) = \infty$.

El objetivo de este trabajo es analizar condiciones necesarias y suficientes para que una extensión del operador, $ \tilde{I}_{\alpha} $ sea acotada del espacio $L^{\Psi}(\mathbb{R}^n)$ en espacios adecuados $ \mathcal{L}_{\alpha,\Psi}(\mathbb{R}^n) $, definidos para cada $ f \in L^1_{\textrm{loc}}(\mathbb{R}^n) $ a través de la siguiente desigualdad \[ \sup_{B \subset \mathbb{R}^n} \frac{1}{|B|^{\frac{\alpha}{n}} \Vert \chi_B \Vert_{\Psi^*}} \int_{B}|f(x) - f_B|\,dx < \infty \, , \] donde $ f_B $ es el promedio de $ f $ sobre $ B $. Estos espacios generalizan los vistos en [2]. Con esto, se obtuvo el siguiente resultado.

Dados $0$ $ < $ $\alpha$ $ < $ $n$ y $ \Psi $ como antes con $ \Psi(\cdot,t)\in L^1_{\textrm{loc}}(\mathbb{R}^n) $, son equivalentes

a. El operador $ I_\alpha $ puede ser extendido a un operador $ \tilde{I}_{\alpha} $, lineal y acotado desde $L^{\Psi}(\mathbb{R}^n)$ en $\mathcal{L}_{\alpha,\Psi}(\mathbb{R}^n)$.

b. Existe una constante $C > 0$ tal que para toda bola $B \subset \mathbb{R}^n$ con centro $x_0$ se cumple \[ \left\Vert \frac{\chi_{\mathbb{R}^n-B}}{|x_0-\cdot| ^{n-\alpha+1}} \right\Vert_{\Psi^*} \leq C |B|^{\frac{\alpha}{n}-\frac{1}{n}-1} \Vert \chi_B \Vert_{\Psi^*}\,, \] donde $\Psi^*$ es la función conjugada de $\Psi$.

Trabajo en conjunto con: ALEJANDRA PERINI (UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE) y MAURICIO RAMSEYER (IMAL (UNL-CONICET)).

Referencias

[1] J. Musielak, Orlicz Spaces and Modular Spaces, Springer, Berlin, 1983.

[2] M. Ramseyer, O. Salinas and B. Viviani, Lipschitz type smoothness of the fractional integral on variable exponent spaces, Math. Analysis and Appl., 403 (2013), 95-106.

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