Sesión AnálisisProblemas de multi-aproximación simultánea
Noelia Belén Rios
CMaLP (UNLP) - IAM (CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta charla vamos a considerar un problema de multi aproximación dentro del conjunto de matrices semi definidas positivas, que proviene de la teoría de marcos en dimensión finita. Más explícitamente, si $\textbf{d}=(d_1,\ldots, d_m)\in\mathbb{N}^m$, dada una sucesión finita de matrices $\Phi^0=\{F^0_i\}_{i=1}^m$, para $F^0_i\in \mathbb C^{d_i\times n}$ y una sucesión no creciente de números (pesos) positivos $\alpha=(\alpha_i)_{i=1}^n$, lo que buscamos es caracterizar a los mejores aproximantes de $\Phi^0$ dentro del conjunto de los $(\alpha,\textbf{d})$-diseños \[ D(\alpha,\textbf{d}):=\{\Phi=\{F_i\}_{i=1}^m: F_i\in \mathbb C^{d_i\times n}\wedge\sum_{i=1}^m ||f_{ik}||^2=\alpha_k,\; k=1,\ldots n\}\] donde $f_{ik}$ es la $k$-ésima columna de la matriz $F_i$, con respecto a la función \[ \Theta(\Phi)=\sum_{i=1}^m || F_i^0(F_i^0)^*-F_i F_i^* ||_2^2\,. \] Esta función $\Theta:D(\alpha,\textbf{d})\to \mathbb {R}_{\geq 0}$, es lo que se denomina (el cuadrado de) ¨la distancia conjunta al operador de marco¨.
En el caso en que $m=1$, este problema fue planteado por Strawn en 2012 y fue resuelto hace un años, considerando una traducción del mismo, a un problema de diseño de marcos con normas predeterminadas. Lo que vamos a contar en esta charla es como caracterizar espectralmente a los minimizadores locales de esta función, para $m\geq 1$, vía una traducción a un problema de multi-diseño. Veremos además que los minimizadores locales son globales.
Trabajo en conjunto con: María José Benac ( FCEyT UNSE - CONICET) y Mariano Ruiz (CMaLP UNLP - IAM CONICET).