Sesión Análisis

Teoremas de densidad en grupos LCA con automorfismo expansivo

Rocío Nores

Universidad de Buenos Aires, IMAS-CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Los sistemas de Gabor $\mathcal{S}(g,\Lambda):=\{ M_{\gamma}T_x g: (x,\gamma)\in\Lambda\}$ dados por traslaciones y modulaciones de $g$ donde $\Lambda$ no tiene o tiene muy poca estructura surgen naturalmente. Por ejemplo, se sigue de la teoría de coorbitas de Feichtinger y Gröchenig [1,2] que si $g$ pertenece al espacio de modulación $M^1(\mathbb{R})$ entonces $\mathcal{S}(g,\Lambda)$ será una secuencia de Bessel para cualquier conjunto de índices $\Lambda$ "suficientemente denso". Nuestro trabajo se ubica en el contexto de un grupo $G$ abeliano localmente compacto que posee un subgrupo $H$ abierto y compacto y, además, existe un automorfismo $A$ de $G$ que es expansivo con respecto a $H$. Esto es: \[ H\subsetneq AH \] \[\bigcap_{n\leq0}A^nH=\{0\}.\]

Con esta estructura podemos definir en $G$ un análogo a las "bolas" de $\mathbb{R}^n$ y por lo tanto, definir una noción de densidad similar a la conocida densidad de Beurling.

Con todo esto, pudimos probar que si $\varphi\in M^1(G)$, $\varphi\neq0$ y $\Lambda\subseteq G\times\widehat{G}$ es una sucesión con densidad finita, entonces $S(\varphi,\Lambda)$ es una sucesión de Bessel. Esto provee una versión válida en este ambiente del resultado análogo para $\mathbb{R}^n$ probado en [3, Teorema 12]. Por otro lado, también probamos que algunos resultados de densidad que son ciertos en $\mathbb{R}^n$ dejan de serlo en el contexto de grupos con automorfismos expansivos.

Trabajo en conjunto con: Emily King (Colorado State University) y Victoria Paternostro (Universidad de Buenos Aires, IMAS-CONICET).

Referencias

[1] H. Feichtinger and K. Gröchenig, Banach spaces related to integrable groups representatios and their atomic decompositions I, Journal of Functional analysis 86.2 (1989), 307-340.

[2] H. Feichtinger and K. Gröchenig, Banach spaces related to integrable groups representatios and their atomic decompositions part II, Monatshefe für Mathematik 108 (1989), 129-148.

[3] C. Heil, History and evolution of the density theorem for Gabor frames, Journal of Fourier Analysis and Applications 13 (2007), 113-166.

Ver resumen en PDF