Sesión AnálisisSolución de Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias Secuenciales Lineales con Relación de Recurrencia usando la función $\gamma$-$\alpha$-$n$-Exponencial
Luciano L. Luque
Universidad Nacional del Nordeste, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El papel de la función exponencial en la solución de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes tiene su analogía con el papel de la función de Mittag-Leffler y sus generalizaciones en la solución de las ecuaciones diferenciales de orden no entero. La función exponencial tiene la importante propiedad de ser invariante, salvo constante, por las operaciones de diferenciación e integración. En el cálculo fraccionario, la función que tiene esta propiedad se llama $\alpha$-Exponencial y se define en términos de la función de Mittag-Leffler de dos parámetros (Ver, por ejemplo [1], [6]).
La dificultad de extender la función $\alpha$-Exponencial a través de generalizaciones de la función Mittag-Leffler con tres o más parámetros y preservar la invariancia a través de operaciones de diferenciación e integración fraccionaria impulsó la introducción de la definición de una nueva función de tipo Mittag-Leffler, la función $\gamma$-$\alpha$-$n$-Exponencial, que tiene una propiedad similar a la $\alpha$-Exponencial pero implica una relación recurrencia cuando se aplican operadores de diferenciación secuencial de Miller-Ross (ver [2] y [6]). El comportamiento particular de las derivadas secuenciales hace que una ecuación diferencial secuencial sea una generalización intuitiva de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
En [2] se introduce la teoría general básica para las Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias Secuenciales Lineales con Relación de Recurrencia (EDFSLRR), que involucra el operador fraccionario de Riemann-Liouville; donde se estudian principalmente las soluciones en el caso de coeficientes constantes. Luego, en [4] se investiga las soluciones para las EDFSLRR, en algunos casos cuando sus coeficientes son variables.
En la presente comunicación, se presenta una solución diferente a la ya conocida, presentada en [2], para las EDFSLRR. Esta solución implica una función de tipo Mittag-Leffler, que verifica una propiedad de recurrencia compatible con el comportamiento de las EDFSLRR. Las soluciones presentadas se dan usando la función $\gamma$-$\alpha$-$n$-Exponencial y también usando las funciones trigonométricas fraccionarias generalizadas definidas en [3].
Trabajo en conjunto con: Gustavo A. Dorrego (Universidad Nacional del Nordeste, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura, Argentina).
Referencias
[1] Kilbas H, Srivastava H, Trujillo J. Theory and Application of Fractional Direrential Equations. USA, Elsevier, 2006.
[2] Luque LL. Linear Differential Equations of Fractional Order with Recurrence Relationship. Progress in Fractional Differentiation and Applications 2021; 7 (1): 1-21. http://dx.doi.org/10.18576/pfda/070101
[3] Luque LL. On a generalized Mittag-Leffler function. International Journal of Mathematical Analysis, 2019; 13(5), 223-234. https://doi.org/10.12988/ijma.2019.9321
[4] Luque LL, Cerutti RA, Dorrego GA. Some Linear Fractional Differential Equations with Recurrence Relationship and Variable Coefficients. International Journal of Mathematical Analysis, 2022; 16(3), 97-113. https://doi.org/10.12988/ijma.2022.912420
[5] Miller KS, Ross B. Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differntial Equation. Wiley, 1993.
[6] Podlubny I. Fractional Differntial Equation. London, Academic Press, 1999.