Sesión Matemática Discreta$R$-Secuenciabilidad de grupos no abelianos
María Valentina Soldera Ruiz
Departamento de Matemática, Universidad Nacional de San Luis, e IMASL (UNSL-CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Un grupo orden $n$ es $R$-secuenciable si existe una permutación de los elementos distintos a la identidad $$g_1,g_2,\ldots,g_{n-1}$$ de manera tal que los elementos de la sucesión \[ g_{1}^{-1}g_{2},g_{2}^{-1}g_3,\ldots,g_{n-2}^{-1}g_{n-1},g_{n-1}^{-1}g_{2} \] son todos distintos.
Se puede caraterizar a los grupos $R$-secuenciables a travez de digrafos completos de Cayley. El digrafo completo de Cayley de un grupo $G$ tiene por vértices los elementos de $G$ y arcos de la forma $(g,gs)$ para cada $g,s\in G$ con $s\neq e$. Un grupo $G$ es $R$-secuenciable si y solo si su digrafo completo de Cayley tiene un ciclo de longitud $|G|-1$ que utiliza un arco de la forma $(g,gs)$ para cada $s\in G\setminus\{e\}$.
El problema de $R$-secuenciabilidad ha sido muy estudiado a lo largo de los años. Los grupos abelianos $R$-secuenciables fueron caracterizados por Alspach, Kreher y Pastine en [1]; los diedrales por Keedwell en [3]; los diciclicos por Wang y Leonard en [4]; los de orden $pq$, con $p$ y $q$ primos impares distintos, por Keedwell en [3] y Wang y Leonard en [4]; y no abelianos de orden 27 por Bedford en [2]. Sin embargo, estos grupos forman solo una pequeña fracción de los grupos finitos. Por lo que queda mucho aún por hacer.
En este trabajo presentamos una herramienta para estudiar $R$-secuenciabilidad de grupos de orden impar a travez de subgrupos normales y grupos cocientes. Utilizando esta herramienta, demostramos que todos los grupos de orden coprimo con 30 son $R$-secuenciables, cubriendo un gran porcentaje de los grupos que restan por estudiar.
Trabajo en conjunto con: Adrián Pastine (Departamento de Matemática, Universidad Nacional de San Luis, e IMASL (UNSL-CONICET)).
Referencias
[1] B. Alspach, D. L. Kreher y A. Pastine, The Friedlander-Gordon-Miller Conjecture is true, Australian Journal of Combinatorics, Volumen 67, año 2017, pp. 11-24.
[2] D. Bedford, On groups of orders $p$, $p^2$, $pq$ and $p^3$, $p, q$ prime: their classification and a discussion as to whether they are super $P$-groups, Undergraduate Special Study, University of Surrey, año 1987.
[3] A. D. Keedwell, On the R-sequenceability and Rh-sequenceability of groups, Annals of Discrete Mathematics, Volumen 18, año 1983, pp. 535-548.
[4] C.-D. Wang and P. A. Leonard, More on sequences in groups, Australasian Journal of Combinatorics, Volumen 21, año 2000, pp. 187-196.