Sesión Análisis Numérico y Optimización Convergencia en Problemas Discretos de Control Óptimo Distribuido para la Ecuación de Helmholtz
Paulo Alejandro Pascal
Universidad Autónoma de Entre Ríos, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Se considera un dominio acotado $\Omega$ en $\mathbb{R}^n$ cuya frontera regular $\Gamma $ consiste de la unión de dos porciones disjuntas $\Gamma_{i}$, $i=1$, $2$, con $med(\Gamma_{i}) \gt 0$. Se consideran los siguientes problemas elípticos [3]: $$ -\Delta u=g\,\ \text{ en }\Omega \ \ \,\,\,\,\,\,u|_{\Gamma _{1}}=b\,\,\,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n}|_{\Gamma _{2}}=q $$ $$ -\Delta u=g\,\ \text{ en }\Omega \ \ \,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n% }|_{\Gamma _{1}}=\alpha (u-b)\,\,\,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n}|_{\Gamma _{2}}=q $$ $$ -\Delta u+\lambda u=g\,\ \text{ en }\Omega \ \ \,\,\,\,\,\,u|_{\Gamma _{1}}=b\,\,\,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n}|_{\Gamma _{2}}=q $$ $$ -\Delta u+\lambda u=g\,\ \text{ en }\Omega \ \ \,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n% }|_{\Gamma _{1}}=\alpha (u-b)\,\,\,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n}|_{\Gamma _{2}}=q $$ donde $u$ es la temperatura en $\Omega$, $g$ es la energía interna en $\Omega $, $b$ es la temperatura sobre $\Gamma_{1}$ para (1) y (3) y la temperatura en un entorno externo de $\Gamma_{1}$ para (2) y (4), $q$ es el flujo de calor en $\Gamma_{2}$, $\lambda \gt 0$ y $\alpha \gt 0$ es el coeficiente de transferencia de calor en $\Gamma_{1}$, que satisfacen: $g\in L^2(\Omega)$, $q\in L^2(\Gamma_2)$ y $b=cte$.
En relación a estos problemas y siguiendo [3, 4], se formulan problemas de control óptimo distribuido sobre $g$, denotados por $C$ para (1), $C_{\alpha}$ para (2), $C^{\lambda}$ para (3) y $C_{\alpha}^{\lambda}$ para (4). Vinculados a ellos y siguiendo [1, 2], se formulan aproximaciones discretas por el método de los elementos finitos con triángulos de Lagrange de tipo 1, con parámetro de discretización $h$, denotados por $C_h$, $C_{h\alpha}$, $C^{\lambda}_h$ y $C_{h\alpha}^{\lambda}$, respectivamente. Se obtienen resultados de existencia y unicidad de las soluciones óptimas para los problemas discretos, se dan las correspondientes condiciones de optimalidad y se estudia el comportamiento asintótico de las controles óptimos, estados del sistema y estados adjuntos cuando el parámetro $\lambda$ tiende a cero, el coeficiente de transferencia de calor $\alpha$ tiende a infinito y el parámetro de discretización $h$ tiende a cero, simultáneamente.
Trabajo en conjunto con: Claudia M. Gariboldi (Universidad Nacional de Río Cuarto, Argentina) y Domingo A. Tarzia (Universidad Austral, Argentina).
Referencias
[1] C.M. Bollo, C.M. Gariboldi, D.A. Tarzia, Numerical analysis of a family of simultaneous distributed-boundary mixed elliptic optimal control problems and their asymptotic behaviour through a commutative diagram and error estimates. Nonlinear Analysis: Real World Applications. 72 (2023), Article 103842.
[2] S.C. Brenner, L.R. Scott, The Mathematical theory of finite element methods. Springer, New York (2008).
[3] C.M Gariboldi, A.V. Maero, D.A. Tarzia, Doble convergencia en problemas de control óptimo simultáneos para la ecuación de Helmholtz. MACI, 9 (2023). 101-104.
[4] C.M Gariboldi, D.A. Tarzia, Convergence of distributed optimal controls on the internal energy in mixed elliptic problems when the heat transfer coefficient goes to infinity, Applied Mathematics and Optimization, 47 (2003), 213-230.