Sesión Álgebra y GeometríaUn problema de control de geodésicas orientadas sujetas a movimientos infinitesimalmente helicoidales con paso constante
Marcos Salvai
FAMAF (Universidad Nacional de Córdoba) y CIEM (Conicet), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $\mathcal{G}$ la variedad diferenciable de dimensión cuatro que consiste en todas las rectas orientadas (no parametrizadas) de $\mathbb{R}^{3}$. Estudiamos la controlabilidad del sistema de control en $\mathcal{G}$ dado por la condición de que una curva en $\mathcal{G}$ describa en cada instante, a nivel infinitesimal, un helicoide con rapidez angular prescripta $\alpha $. De hecho, planteamos el problema análogo más general dado por el sistema de control en la variedad $\mathcal{G}_{\kappa }$ de todas las geodésicas completas orientadas de la forma espacial tridimensional de curvatura $\kappa $: $\mathbb{R}^{3}$ para $\kappa =0$, $S^{3}$ para $\kappa =1$ y el espacio hiperbólico de dimensión tres para $\kappa =-1$. Obtenemos que el sistema es controlable si y solo si $\alpha ^{2}\neq \kappa $. En el caso esférico con $\alpha =\pm 1$, una curva admisible permanece en el conjunto de fibras de una fibración de Hopf fija de $S^{3}$.
También abordamos y resolvemos el problema de Kendall (también llamado de Oxford) en este marco: Encontrar el menor número de transiciones de curvas continuas a trozos que unen dos rectas orientadas arbitrarias, con trozos en ciertas familias distinguidas de curvas admisibles.
Trabajo en conjunto con: Mateo Anarella (Universidad Católica de Lovaina, Bélgica).