Sesión Álgebra y GeometríaAutovalores negativos del Laplaciano conforme
Guillermo Henry
Universidad de Buenos Aires, IMAS-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $(M,g)$ una variedad riemanniana cerrada de dimensión $n\geq 3$. El Laplaciano conforme es el operador lineal elíptico definido por $$L_g:=\frac{4(n-1)}{(n-2)}\Delta_g +s_g,$$ donde $\Delta_g$ y $s_g$ denotan el operador de Laplace-Beltrami y la curvatura escalar, respectivamente. El significado geométrico del Laplaciano conforme es el siguiente: si $h$ es una métrica riemanniana en la clase conforme de $g$, esto es $h=u^{\frac{4}{n-2}}g$ para alguna función positiva $u$, entonces la curvatura escalar de $(M,h)$ es $$s_h=L_g(u)u^{-\frac{n+2}{n-2}}.$$
El espectro de $L_g$ es una sucesión no decreciente autovalores que tiende a infinito. El signo de cada autovalor es un invariante conforme. Es bien sabido que en cada clase conforme existe una métrica de curvatura escalar constante y su signo coincide con el signo del primer autovalor del Laplaciano conforme. Por lo tanto, hay obstrucciones a la existencia de métricas con primer autovalor no nulo. Sin embargo, no hay obstrucciones para la existencia de métricas con primer autovalor negativo.
Sea $\Lambda_0(M)$ el mínimo numero de autovalores no positivos que un Laplaciano conforme de una métrtica de $M$ puede tener. En esta charla, mostraremos quepara todo $k\geq \Lambda_0 (M)$, existe una métrica riemanniana $M$ tal que el Laplaciano conforme tiene exactamente $k$ autovalores negativos. También discutiremos sobre cotas superiores de $\Lambda_0 (M)$.
Trabajo en conjunto con: Jimmy Petean (CIMAT, GTO, México).