Sesión Matemática DiscretaFunciones simétricas y t-diseños esféricos en $\mathbb{R}^2$
Federico Nicolás Martínez
Universidad Nacional de San Luis, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Un subconjunto finito $X$ de $S^{n−1}$ in $\mathbb{R}^n$ es un $t-$diseño esférico si para cualquier polinomio $f (x) = f (x_1 , . . . , x_n )$ de grado a lo sumo $t$, el valor de la integral de $f(x)$ sobre $S^{n−1}$ dividido por el volumen de $S^{n−1}$ es igual al promedio de $f(x)$ en $X$. Intuitivamente, podemos decir que los puntos de $X$ están distribuidos de manera "óptima" en la esfera. Los $t$-diseños esféricos fueron introducidos en {\bf[DGS]} y son objeto de interés en diversas áreas de la matemática (ver también {\bf[BB]}).
En el caso $n=2$ los elementos del diseño pueden verse como números complejos de módulo 1 y podemos dar la siguiente definición equivalente: para $n,t\in\mathbb{N}$, $n\geq t+1$, el conjunto $X=\{z_1,\dots,z_n\}\subset S^1$ es un $t$-diseño esférico si y sólo si $\sigma_i( z_1,\dots,z_n)=0$ para $i=1,\dots,t$, donde $\sigma_i$ es la $i-$ésima función simétrica de los elementos de $X$. De esta forma podemos estudiar los $t$-diseños por medio de los coeficientes de los polinomios que tienen por raíces a sus elementos.
Así, las raíces enésimas de un número complejo de módulo 1 son un $t$-diseño esférico si $n \gt t$ al igual que uniones de conjuntos de este tipo (eg. la unión de raíces cúbicas y cuartas de respectivos números complejos de módulo 1 forman un 2-diseño esférico de 7 elementos, al igual que raíces séptimas de un tal número). Diseños obtenidos de esta forma se dicen de ``tipo grupo'' y son todos los $t$-diseños para $t+1\leq n\leq 2t+2$ mientras que, para $n\geq 2t+3$ existen, además, no numerables $t$-diseños de ``tipo no grupo'' (ver {\bf[H]}).
En {\bf[M]}, dados $k$ puntos en $S^1$ satisfaciendo ciertas condiciones determinadas por medio de sus funciones simétricas, se introduce un método para construir $t$-diseños esféricos en $\mathbb{R}^2$ con $2t+k$ elementos. Dichas condiciones también clarifican la naturaleza de los diseños de tipo grupo y dan una descripción geométrica del conjunto de los $t$-diseños esféricos en términos del $\sigma$-espacio.
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{\bf Referencias}
{\bf [BB]}E. Bannai; E. Bannai. A survey on spherical designs and algebraic combinatorics on spheres. {\it European Journal of Combinatorics}, 30:1392–1425, 2009.
{\bf[DGS]} P. Delsarte; J. M. Goethals; J. J. Seidel. Spherical codes and designs. {\it Geometriae Dedicata}, 6:363–388, 1977.
{\bf[H]} Y. Hong. On spherical t-designs in $\mathbb{R}^2$ . {\it European Jounal of Combinatorics}, 3(3):255–258, 1982.
{\bf[M]} F. Martínez. Simmetric functions and spherical $t$-designs in $\mathbb{R}^2$. {\it Codes, Designs and Criptography}, 90:2563-2581, 2022.