Sesión AnálisisWavelets de Haar generalizadas y regularidad Lipschitz de funciones
Juliana Boasso
IMAL-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
$\text{ }$$\text{ }$$\text{ }$Motivados por su aplicación en la construcción y uso de exponentes de tipo Hurst ([6]) para el análisis de dinámicas asociadas al comportamiento del Río Paraná, demostramos en este trabajo algunas desigualdades básicas que completan y extienden los resultados en ([1], [2], [3]). En ([2]) y ([3]) se extienden los resultados en ([5], (ver también [4])). En ([1]), en cambio, se introduce la métrica (ultramétrica) diádica $\delta$ adecuada en $\mathbb{R}_+$ para que las wavelets de Haar unidimensionales usuales permitan caracterizar completamente las clases de Lipschitz determinadas por $\delta$ en $\mathbb{R}_+.$ Esta métrica es la que definimos a continuación en $n$ dimensiones. Ciertas anisotropías en los datos empíricos que nos interesan cuantificar, sugieren que las wavelets definidas por métricas no isótropas como las parabólicas, y algunas de sus variantes, pueden producir mejores indicadores. Enunciamos, sin embargo, el resultado en su versión sencilla asociada al sistema diádico clásico en $\mathbb{R}^n.$ Denotemos con $\mathbb{R}^n_+$ al conjunto $\lbrace \mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n: x_i\geq 0, i=1,\cdots, n\rbrace.$ Sea $\mathcal{D} = \bigcup_{j\in\mathbb{Z}}\mathcal{D}_j$ siendo $\mathcal{D}_j = \Big\lbrace Q_{j,\mathbf{k}}:j\in\mathbb{Z},\mathbf{k}\in \mathbb{N}_0^n\Big\rbrace$ la familia de los cubos diádicos en $\mathbb{R}^n_+$ dados por $Q_{j,\mathbf{k}} = \prod_{i=1}^n[k_i 2^{-j},(k_i +1)2^{-j}).$ Sean $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$ dos puntos en $\mathbb{R}^n_+,$ definimos en $\mathbb{R}^n_+$ la ultramétrica $\delta(\mathbf{x,y}) = \inf\lbrace|Q|:\mathbf{x,y}\in Q;Q\in\mathcal{D}\rbrace.$ Esto nos permite considerar en el espacio métrico $(\mathbb{R}^n_+,\delta)$ las funciones de clase Lipschitz con exponente $\alpha \gt 0.$ Una función $f:\mathbb{R}^n_+\to \mathbb{R}$ está en $Lip_\delta(\alpha)$ si y sólo si para alguna constante $C$ se tiene la desigualdad $|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})|\leq C\delta^\alpha(\mathbf{x,y}),$ para todo $\mathbf{x,y}\in\mathbb{R}^n_+.$
$\mathbf{Teorema.}$ $\textit{Sea}$ $\mathcal{H} = \Big\lbrace H^\lambda_{j,\mathbf{k}}: j\in \mathbb{Z};\mathbf{k}\in \mathbb{N}^n_{0}; \lambda= 1,\cdots, 2^n-1 \Big\rbrace$ $\textit{una base de Haar de}$ $L_2(\mathbb{R}^n_+)$ ([7]). $\textit{Entonces una función}$ $f,$ $\textit{integrable sobre cada}$ $Q\in\mathcal{D},$ $\textit{pertenece a}$ $ Lip_\delta(\alpha), \alpha \gt 0$ $\textit{si y sólo si existe una}$ $\textit{constante}$ $A \gt 0$ $\textit{tal que}$
$$\Big|\Big\langle f, H^\lambda_{{j, \mathbf{k}}}\Big\rangle\Big| \leq A\Big|Q_{j,\mathbf{k}}\Big|^{\alpha+\frac{1}{2}}=A2^{-jn(\alpha+\frac{1}{2})},$$ $\textit{para todo}$ $j\in \mathbb{Z},$ $\textit{todo}$ $\mathbf{k}\in\mathbb{N}^n_{0}$ $\textit{y todo}$ $\lambda= 1,\cdots, 2^n-1.$
Trabajo en conjunto con: Hugo Aimar (IMAL-CONICET) y Luis Espínola (INALI-CONICET).
Referencias
[1] Aimar H., Arias E. y Gómez I. Haar wavelet characterization of dyadic Lipschitz regularity. Revista de la UMA. 2024. https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.00677.
[2] Aimar H. y Bernardis A. Fourier versus wavelets: a simple approach to Lipschitz regularity. Rev. UMA, vol. 40, no. 1-2, pp. 219-224, 1996.
[3] Aimar H, Bernardis A, Nowak L. Haarlet analysis of Lipschitz regularity in metric measure spaces. Sci China Math, 2012, 55(5): 967–975. https://doi.org/10.1007/s11425-012-4367-1.
[4] Daubechies, I. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.
[5] Holschneider M. y Tchamitchian P. Regularite locale de la fonction 'non-differentiable' de Riemann. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen. Springer Verlag. pp. 102-124, 1990.
[6] Hurst H. Long-term storage capacity of reservoirs. Transactions of the American Society of Civil Engineers, 116:770–808, 1951.
[7] Wojtaszczyk P. A Mathematical introduction Of Wavelets. London Mathematical Society Students Texts, 1997. https://doi.org/10.1017/CBO9780511623790.