Sesión AnálisisInteracciones de Orden Superior
Joaquín Toledo
IMAL-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La teoría clásica de campos parte del potencial de Newton como recíproco de la métrica de Euclides. Este núcleo $\frac{1}{d(x,y)}$ induce por integración, en la variable $y$, el potencial generado por una densidad $f(y)$, produciendo así un operador lineal. Cuando esta idea se extiende a interacciones de orden superior a dos, una forma análoga de potencial produciría un operador multilineal, o un tensor de orden mayor que dos. Esta mirada induce la consideración de ``atracciones'' o ``afinidades'' de orden superior y nociones de ``métricas'' en grupos de elementos de cardinal mayor que dos. Nos limitaremos aquí al caso de grupos de tres elementos.
Precisemos: Si $X$ es un conjunto y $\textbf{d}:X^3= X\times X \times X \to \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ es una función que vale cero en la diagonal $\Delta_3$ de $X^3$ y solo sobre ella, que es invariante por permutaciones $\sigma$ de $\{1, 2, 3\}$, es decir $\textbf{d}(\sigma(x_1, x_2, x_3)) = \textbf{d}(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)})=\textbf{d}(x_1, x_2, x_3)$ y satisface una desigualdad del tipo $$\textbf{d}(x_1, x_2, x_3) \leq K \max \{\textbf{d}(x_1, x_2, u), \textbf{d}(x_1, x_3, u), \textbf{d}(x_2, x_3, u)\}$$ para todos $u, x_1, x_2, x_3 \in X$, entonces decimos que $\textbf{d}$ es una cuasi-métrica de orden tres. En [1] se prueba que una noción de atracción o afinidad transitiva $a$ entre pares de elementos de $X$ siempre tiene una estructura Newtoniana $a=\varphi(d)$ con $\varphi$ convexa y $d$ cuasi-métrica en $X$.
En este trabajo estudiamos el problema de casi-metrización de afinidades de tercer orden. Ilustramos la técnica en conjuntos de series temporales de EEG (Electroencefalografía) en neurociencias. El resultado principal se resume en el siguiente enunciado:
$\textbf{Teorema:}$ Sea $X$ un conjunto. Sea \(\textbf{a} : X^3 \to \mathbb{R}^+ \cup \{0\}\), una afinidad de tercer orden, es decir:
$\textbf{(a.1)}$ $\quad \textbf{a} \circ \sigma = \textbf{a} $ si $\sigma (x_1, x_2, x_3) = (x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)})$ y $\sigma$ es permutación de $\{1, 2, 3\}$;
$\textbf{(a.2)}$ $\quad \textbf{a}(\overline{x}) = +\infty $ si y solo si $\overline{x} \in \Delta_3 \quad ( x_1 = x_2 = x_3)$;
$\textbf{(a.3)}$ Si $\textbf{a}(x_1, x_2, u) \gt \lambda$, $ \textbf{a}(x_1, u, x_3) \gt \lambda$ y $\textbf{a}(u, x_2, x_3) \gt \lambda$ entonces $\textbf{a}(x_1, x_2, x_3) \gt \frac{\lambda}{C}$ para alguna constante $ C \gt 1$ y todo $\lambda \gt 0$.
Entonces, si $\mathcal{V}(r) = \{\overline{x} = (x_1, x_2, x_3) \in X^3 : \textbf{a}(\overline{x}) \gt \frac{1}{r}\}$, y $\mathcal{V}^{(3)}=\{(x_1,x_2,x_3) : \exists v \in X / (x_1,x_2,v)\in \mathcal{V}, (x_1,x_3,v)\in \mathcal{V}, (x_2,x_3,v)\in \mathcal{V}\}$ se tiene que
$(\mathcal{V}_1)$ $\mathcal{V}(r_1) \subseteq \mathcal{V}(r_2)$, $ \infty \gt r_2 \gt r_1 \gt 0$;
$(\mathcal{V}_2)$ $\sigma(\mathcal{V}(r))=\mathcal{V}(r)$, para toda $\sigma$ y para todo $r \gt 0$;
$(\mathcal{V}_3)$ $\bigcup_{r \gt 0}\mathcal{V}(r)=X^3$;
$(\mathcal{V}_4)$ $\bigcap_{r \gt 0}\mathcal{V}(r)=\Delta_3$;
$(\mathcal{V}_5)$ existe $K \geq 1 : (\mathcal{V}(r))^{(3)} \subseteq \mathcal{V}(Kr)$, para todo $r \gt 0$;
y la función $\textbf{d}(x_1, x_2, x_3) = \inf \{r \gt 0 : \overline{x} \in \mathcal{V}(r)\}$ es una casi-métrica de orden tres con la que $\textbf{a}$ tiene estructura Newtoniana, es decir $\textbf{a} \simeq \frac{1}{\textbf{d}^\alpha}$ para algún $\alpha \gt 0$.
La idea subyacente proviene de la aplicación que hacen Macías y C. Segovia en [4] del Lema de metrización de Huke Frink [2] , [3] de uniformidades con bases numerables.
Trabajo en conjunto con: Hugo Aimar (IMAL-CONICET) y Ivana Gómez (IMAL-CONICET).
Referencias
[1] H. Aimar and I. Gómez. Affinity and distance. On the Newtonian structure of some data kernels. Analysis and Geometry in Metric Spaces, 6(1):89–95, 2018
[2] A. Huke Frink. Distance functions and the metrization problem. Bull. Amer. Math. Soc., 43(2):133–142, 1937.
[3] J. L. Kelley. General topology. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1975. Reprint of the 1955 edition [Van Nostrand, Toronto, Ont.], Graduate Texts in Mathematics, No. 27
[4] R. A. Macías and C. Segovia. Lipschitz functions on spaces of homogeneous type. Adv. in Math., 33(3):257–270, 1979.