Sesión AnálisisEnfoque Sparse para la acotación del Operador Integral Fraccionario local con dos pesos.
Juan Manuel Sotto Ríos
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral. "Dra. Eleonor Harboure" (UNL-CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Para un conjunto $\Omega \subsetneq \mathbb{R}^n$ abierto y no vacío y $\beta \in (0,1)$, consideramos la familia de cubos $\mathcal{F}_\beta=\{Q(x,l): l \lt \beta\,d(x,\Omega^c)\}$, donde $d$ es la métrica $d_\infty$. En este trabajo estudiamos desigualdades con dos pesos de la Integral fraccionaria local $I_\beta^\gamma$, con $0 \lt \gamma \lt 1$, definida para $f \in L^1_{\textrm{loc}}(\Omega)$ como: \[ I_\beta^\gamma f(x) = \int_{Q(x,\beta d(x,\Omega^c))} \frac{f(y)}{|x-y|^{n(1-\gamma)}}dy \,, \] para cada $x \in \Omega$. Para esto, consideramos un par de pesos $(u,v)$ en la clase $A^{\tau, \gamma}_{p,q,\varphi, \psi}$, con $ 1 \lt \, p \leq q \lt \infty $, $ \tau \in (0,1) $, definida por la condición reforzada: \[ \sup_{Q \in \mathcal{F}_\tau} |Q|^{\gamma+\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\left\Vert{u^{\frac{1}{q}}}\right\Vert_{\varphi,Q} \left\Vert{v^{-\frac{1}{p}}}\right\Vert_{\psi,Q} \lt \infty\,, \] donde en cada uno de los pesos se considera una norma promediada de Luxemburgo con respecto a las funciones de Young $\varphi$ y $\psi$, ver [1]. Con esto, obtuvimos el siguiente resultado
$\mathbf{Teorema:} $ Sean $ 1 \lt \, p \leq q \lt \infty $ y $0 \lt \tau, \gamma \lt 1$. Para $\varphi$ y $\psi$ funciones de Young tal que $\overline{\varphi} \in B_{q'}$ y $\overline{\psi} \in B_p$ ,consideremos un par de pesos $(u,v) \in A^{\tau, \gamma}_{p,q,\varphi, \psi}$. Entonces, para cada $\beta \in (0,\tau)$ se tiene: \[ I_\beta^\gamma : L^p(\Omega,v) \to L^q(\Omega,u)\,. \]
En la demostración del teorema se utiliza una técnica con operadores de tipo Sparse similares a las que aparecen en [1]. Además obtuvimos, como aplicación, el siguiente resultado de inmersión: \[ W_{\rho, v}^{1,p}(\Omega) \subset L^q(\Omega,u\rho^q) \] donde estos espacios están definidos como en [2]. Estos resultandos mejoran, en este contexto geométrico en particular, los obtenidos en [2].
Trabajo en conjunto con: Mauricio Ramseyer (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL)) y Oscar Salinas (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL))..
Referencias
[1] David Cruz-Uribe. Two weight inequalities for fractional integral operators and commutators. In Advanced courses of mathematical analysis VI, pages 25{85. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2017.
[2] Ramseyer, M., Salinas, O. and Toschi, M. Two-weight boundedness for local fractional maximal and applications. In European Journal of Mathematics 9, 109 (2023).