Sesión AnálisisConjuntos débilmente porosos y pesos de la clase $A_1$ de Muckenhoupt en espacios de tipo homogéneo
Ignacio Javier Gómez Vargas
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral (CONICET - UNL). Santa Fe, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
$\:\:\:$En este trabajo, extendemos los conceptos de porosidad débil y de duplicación de la función de poro maximal, introducidos por Mudarra ([1]) en espacios métricos, y probamos su equivalencia con la pertenencia de $d(\cdot,E)^ {-\alpha}$ a la clase $A_1$ para algún $\alpha \gt 0$. Nuestra demostración extiende los resultados de [1, 2] y también provee un nuevo enfoque basado en una construcción de R. Macías y C. Segovia en "$\textit{A Well Behaved Quasi-distance for Spaces of Homogeneous Type}$" ([3]).
$\:\:\:$Sea $(X,d,\mu)$ un espacio de tipo homogéneo (ETH) tal que las $d$-bolas son conjuntos abiertos. Denotamos con $K$ a la constante triangular óptima para $d$ en $X$, es decir, $d(x,z)\leq K(d(x,y)+d(y,z))$ para todo $x,y,z\in X$ y $K$ es el mínimo número real positivo con esta propiedad. Dado $E$, un subconjunto no vacío de $X$, consideramos la colección $\Lambda(x,r;d,E)= \{ s \in(0,2Kr): \exists y\in X\text{ tal que }B(y,s) \subset B(x,r) \setminus E \}$. El supremo de $\Lambda(x,r;d,E)$ mide el radio del poro maximal en $B(x,r)$ con respecto a $E$. La función que a cada bola $B(x,r)$ le asigna ese supremo, $\rho_E(B(x,r))= \text{sup}\:\Lambda(x,r;d,E)$, se denomina “función de poro maximal”. Un conjunto $E\subset X$ distinto de vacío es débilmente poroso si existen $\sigma,\gamma\in(0,1)$ tales que para toda $d$-bola $B$ en $X$ se tiene que existe un número finito $N=N(B)$ de bolas $\{B(x_i,r_i)\}_{i=1}^N$ tales que: (i) $B(x_i,r_i)\cap B(x_j,r_j)=\emptyset$ para $i\neq j$ y $B(x_i,r_i)\subset B\setminus E$ para todo $1\leq i\leq N$; (ii) $r_i\geq\gamma\rho_E(B)$ para todo $i=1,...,N$ y (iii) $\sum_{i=1}^N\mu(B(x_i,r_i))\geq \sigma\mu(B)$.
$\:\:\:$En lo que respecta a las clases de pesos de Muckenhoupt, éstas se encuentran bien definidas en ETH ([4, 5]). En particular, una función real no negativa localmente integrable $w$ definida en $X$ es un peso de $A_1(X,d,\mu)$ si existe una constante $C \gt 0$ tal que la desigualdad $\frac{1}{\mu(B)} \int_Bwd\mu\leq C\:\text{ess inf}_B\:w$ vale para toda bola $B$ en $(X,d)$. Con esto, el resultado principal puede enunciarse de la siguiente manera.
$\mathbf{Teorema}$. $\textit{Sea $(X,d,\mu)$ un ETH tal que toda bola es un conjunto abierto y sea $E\subset X$ no vacío. Las si-}$ $\textit{guientes afirmaciones son equivalentes.}$
(I) $\textit{$E$ es débilmente poroso y}$ $\rho_E$ $\textit{es duplicante;}$
(II) $\textit{existe $\alpha \gt 0$ tal que}$ $d(\cdot,E) ^{-\alpha}\in A_1(X,d,\mu)$ $\textit{, donde}$ $d(x,E):=\text{inf}\{d(x,e):e\in E\}$ $\textit{para todo}$ $x\in X.$
La propiedad de duplicación de $\rho_E$ significa que existe una constante $C(E)$ tal que $\rho_E(B(x,2r)) \leq C(E) \rho_E(B(x,r))$ para todo $x\in X$ y todo $r \gt 0$. Los resultados de esta comunicación están contenidos en [6].
Trabajo en conjunto con: Hugo Aimar (IMAL) y Ivana Gómez (IMAL).
Referencias
[1] Carlos Mudarra. Weak porosity on metric measure spaces, 2024. arXiv 2306.11419.
[2] Theresa C. Anderson, Juha Lehrbäck, Carlos Mudarra, and Antti V. Vähäkangas. Weakly porous sets and Muckenhoupt $A_p$ distance functions, 2022. arXiv 2209.06284.
[3] Roberto Macías and Carlos Segovia. A well behaved quasi-distance for spaces of homogeneous type. Trabajos de Matemática IAM, 32:1–18, 1981.
[4] Hugo Aimar and Roberto A. Macías. Weighted norm inequalities for the Hardy-Littlewood maximal operator on spaces of homogeneous type. Proceedings of the American Mathematical Society, 91(2):213–213, February 1984.
[5] A. Calderón. Inequalities for the maximal function relative to a metric. Studia Mathematica, 57(3):297–306, 1976.
[6] Hugo Aimar, Ivana Gómez, and Ignacio Gómez Vargas. Weakly porous sets and $A_1$ Muckenhoupt weights in spaces of homogeneous type, 2024. arXiv 2406.14369, IMAL Preprints.