Sesión AnálisisExpansión de Taylor en espacios de Lebesgue con exponente variable
Fabián Eduardo Levis
Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQYN, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Las desigualdades de Taylor son reconocidas desde hace tiempo como herramientas indispensables en el campo del análisis matemático, ofreciendo valiosas perspectivas sobre el comportamiento y la precisión de las aproximaciones polinómicas de Taylor. Estas desigualdades establecen cotas superiores para la discrepancia entre una función y su expansión de Taylor, proporcionando una medida cuantificable del error de aproximación.
Denotamos por $B(x_0, \epsilon)$ el intervalo abierto centrado en $x_0 \in \mathbb{R}$ con radio $\epsilon \gt 0$. Siguiendo la notación de [1], consideramos el espacio local de Lebesgue con exponente variable $L_{\mathrm{loc}}^{p(\cdot)}(\mathbb{R})$, la clase de exponente variable $P_0^{\mathrm{log}}(\mathbb{R})$ localmente log-Hölder continuo y la norma de Luxemburg promediada en $L^{p(\cdot)}(B(x_0, \epsilon))$ $$ \|f\|^{\oslash}_{L^{p(\cdot)}(B(x_0, \epsilon))}=\inf \left\{ \lambda \gt 0: \frac{1}{|B(x_0, \epsilon)|} \int_{B(x_0, \epsilon)} \left(\frac{|f(x)|}{\lambda}\right)^{p(x)} dx\le 1 \right\}. $$ En este trabajo, mostramos desigualdades de Taylor en $L_{\mathrm{loc}}^{p(\cdot)}(\mathbb{R})$. Más precisamente, damos desigualdades que evalúan el error en la expansión de Taylor de orden $\ell$ alrededor de $x_0$, $ F_{x_0,\ell}(f)(x)=\sum_{i=0}^\ell \frac{1}{i !}D^i f (x_0) (x-x_0)^i$, para funciones en el espacio tipo Sobolev de exponente variable $W_{\mathrm{loc}}^{\ell, p(\cdot)}(\mathbb{R})$, es decir, con derivadas débiles en $L_{\mathrm{loc}}^{p(\cdot)}(\mathbb{R})$, utilizando la norma de Luxemburg promediada sobre $B(x_0, \epsilon)$. Concretamente, demostramos el siguiente:
Teorema (Desigualdad de Taylor): Para $\ell \in \mathbb{N}$ y $p \in P_0^{\mathrm{log}}(\mathbb{R})$ con $\|p\|_{\infty} \lt \infty$, existe una constante $\omega_{p} \gt 0$ tal que $$ \|\epsilon^{-\ell}(f-F_{x_0,\ell}(f))\|^\oslash_{L^{p(\cdot)}(B(x_0,\epsilon))} \le \omega_{p} \|D^\ell f - D^\ell f(x_0)\|^\oslash_{L^{p(\cdot)}(B(x_0,\epsilon))},$$ para todo $0 \lt \epsilon \lt \frac{1}{4}$, $f \in W_{\mathrm{loc}}^{\ell ,p(\cdot)}(\mathbb{R})$, y casi todo $x_0 \in \mathbb{R}$.
Como consecuencia, demostramos que una función de tipo Sobolev de exponente variable $W_{\mathrm{loc}}^{\ell, p(\cdot)}(\mathbb{R})$ admite una expansión finita en serie de Taylor en casi todos los puntos de $\mathbb{R}$. Además, damos una aplicación de nuestros resultados en la mejor aproximación en $L^{p(\cdot)}$. Específicamente, probamos que los coeficientes de los polinomios de mejor aproximación en $L^{p(\cdot)}$ a una función de tipo Sobolev variable en $B(x_0, \epsilon)$ convergen a las derivadas débiles de dicha función en $x_0$ cuando $\epsilon$ tiende a cero, para casi todos los puntos $x_0 \in \mathbb{R}$.
Cabe destacar que estos resultados amplían aquellos publicados recientemente en [2] en espacios de tipo Orlicz-Sobolev.
Este trabajo está parcialmente subvencionado por la Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 18/C614-2), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Resol. Nro. 203/23) y CONICET (PIP 112-202001-00694CO).
Trabajo en conjunto con: Hilde L. Bianchi (Universidad de Buenos Aires), Federico D. Kovac (Universidad Nacional de la Pampa, Facultad de Ingeniería) y Claudia N. Rodríguez (Universidad Nacional de Río Cuarto).
Referencias
[1] L. Diening, P. Harjulehto, P. Hästö, M. Ruzicka, Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents, Springer, Heidelberg, 2011.
[2] F.D. Kovac, F.E. Levis, Taylor’s inequalities in Orlicz-Sobolev type spaces, Math. Nachr. 296 (2023), 1190-1203.