Sesión Matemática DiscretaMatrices de suma por fila en grupos diedrales generalizados
María Valentina Soldera Ruiz
Universidad Nacional de San Luis, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Dados $\Gamma$, un grupo, y $\Sigma=\{\sigma_1,\ldots,\sigma_{|\Gamma|}\}$, un multiconjunto de elementos de $\Gamma$ de cardinalidad $|\Gamma|$, una matriz de suma por fila de orden $g$ y suma $\Sigma$, $\operatorname{RSM}_\Gamma(g,\Sigma)$, es una matriz de $g$ columnas y $|\Gamma|$ filas, cuyas columnas son permutaciones de los elementos de $\Gamma$, y cuya $i$-ésima fila suma $\sigma_i$ (utilizando notación aditiva para el producto del grupo). Este tipo de matrices son de interés por sus aplicaciones a la descomposición de grafos, y han sido utilizadas sobre grupos abelianos implicitamente por mucho tiempo. Sin embargo, las $\operatorname{RSM}$ fueron introducidas formalmente recien en [1], donde, por las limitaciones de los grupos abelianos, matrices sobre grupos diedrales generalizados fueron utilizadas para descomponer grafos completos en ciertas estructuras. Más precisamente, estudiaron el grupo diedral generalizado \[ \Gamma=\left\langle \mathbb{Z}_m\times \mathbb{Z}_{2^{k+1}n}\times \tau \,\mid\, \tau^2=e,\, h\tau=\tau h,\,\forall h\in \mathbb{Z}_m\times \mathbb{Z}_{2^{k+1}n}\right\rangle \] o, en notación aditiva, \[ \Gamma=\left\langle \mathbb{Z}_m\oplus \mathbb{Z}_{2^{k+1}n}\oplus \tau \,\mid\, 2\tau=e,\, h+\tau=\tau -h,\,\forall h\in \mathbb{Z}_m\oplus \mathbb{Z}_{2^{k+1}n}\right\rangle \] donde $e$ es la identidad. Los autores de [1] demostraron que dado $g\geq 3$ existe un $\Sigma$ con $\alpha$ elementos de orden $m$ y $|\Gamma|-\alpha$ elementos de orden $2^kn$, tal que existe una $\operatorname{RSM}_\Gamma(g,\Sigma)$ (salvo en ciertos casos). Como [1] es el único trabajo que estudia estas matrices sobre grupos no abelianos, queda mucho trabajo por hacer y cualquier resultado resultaría en nuevas descomposiciones de grafos.
En este trabajo nos concentramos en las condiciones necesarias y suficientes sobre $\Sigma$ y $g$ para que exista $\operatorname{RSM}_\Gamma(g,\Sigma)$ cuando $\Gamma$ es un grupo diedral generalizado.
Referencias
[1] Burgess, A. C., Danziger, P., Pastine, A., & Traetta, T. (2024). Constructing uniform 2-factorizations via row-sum matrices: Solutions to the Hamilton-Waterloo problem. Journal of Combinatorial Theory, Series A, 201, 105803.