Sesión Matemática DiscretaInversas $G$-Drazin $W$-ponderadas laterales y órdenes parciales matriciales
María Luz Llanes
Universidad Nacional de Río Cuarto, FCEFQyN, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En 2016, Wang y Liu [6] definieron la inversa $G$-Drazin de una matriz $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ de índice $k$ como una matriz $X\in \mathbb{C}^{n\times n}$ que satisface las ecuaciones matriciales \[AXA=A, \quad XA^{k+1}=A^k, \quad A^{k+1}X=A^k. \] Los autores probaron que el conjunto solución, digamos $A\{GD\}$, es no vació y permite inducir una relación binaria sobre $\mathbb{C}^{n\times n}$ que resulta reflexiva, transitiva y antisimétrica dando lugar a un orden parcial matricial llamado orden parcial $G$-Drazin [1,6]: \[A \leq^{GD} B ~\Leftrightarrow~ \exists~ X_1,X_2 \in A\{GD\}~\text{tal que}~ X_1 A= X_1 B~\text{y}~ A X_2 = B X_2. \] En 2018, Coll, Lattanzi y Thome [2] extendieron las inversas $G$-Drazin al caso rectangular mediante una matriz de ponderación $W$, y mediante dichas inversas intentaron también obtener un orden parcial sobre el conjunto de matrices complejas rectangulares. Sin embargo, solamente obtuvieron un pre-orden matricial. En 2022, Mosi\' c [3,4,5] introduce la idea de inversa $G$-Drazin a izquierda (resp. a derecha) de $A$ combinado la primera condición de (1) con la segunda (resp. la tercera) y prueba que estas dos nuevas clases de inversas generalizadas inducen respectivamente un orden parcial sobre $\mathbb{C}^{n\times n}$. En esta charla comentaremos una extensión de este último trabajo al caso rectangular incorporando un peso adecuado en el sistema (1). Más concretamente, dada una matriz de ponderación $0\neq W\in \mathbb{C}^{n\times m}$, se dice que $X$ es una inversa $G$-Drazin a izquierda $W$-ponderada (resp. a derecha) de $A\in \mathbb{C}^{m\times n}$ si satisface las dos ecuaciones \[AWXWA=A~\text{y}~ XW(AW)^{k+1}=(AW)^k ~(\text{resp.}~ AWXWA=A ~\text{y}~ (WA)^{k+1}WX=(WA)^k ),\] donde $k=\max\{\text{ind}(AW),\text{ind}(WA)\}$ ($\text{ind}(\cdot)$ indica el índice de la matriz). Mediante dichas inversas generalizadas, extendemos el orden parcial dado en (2) al caso rectangular y conseguimos dos nuevos órdenes parciales matriciales.
Este trabajo está parcialmente subvencionado por la Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 18/C634), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Resol. Nro. 135/19) y CONICET (PIBAA 28720210100658CO).
Trabajo en conjunto con: David E. Ferreyra (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN) y Albina Priori (Universidad Nacional de Río Cuarto, FCEFQyN).
Referencias
[1] D.E. Ferreyra, M. Lattanzi, F.E. Levis, N. Thome, Solving an open problem about the G-Drazin partial order, Electronic J. Linear Algebra, 36 (2020), 55-66.
[2] C. Coll, M. Lattanzi, N. Thome, Weighted G-Drazin inverses and a new pre-order on rectangular matrices, Appl. Math. Comput., 317 (2018), 12-24.
[3] D. Mosic, L. Wang, Left and right G-outer inverses, Linear Multilinear Algebra, 70 (17) (2022), 3319-3334.
[4] D. Mosic, G-outer inverse of Banach spaces operators, J. Math. Anal. Appl., 481 (2) (2020), 123501.
[5] D. Mosic, Weighted G-Drazin inverse for operators on Banach spaces, Carpathian J. Math., 35(2) (2019), 171-184.
[6] H. Wang , X. Liu, Partial orders based on core-nilpotent decomposition, Linear Algebra Appl., 488 (2016) 235-248.